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TRAITÉ
DR
NOMOGRAPHIE
TRAITÉ
DE
NOMOGRAPHIE
/
PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER- VILLARS ,
tsevi Quai des Grands-Augustins, 55.
TRAITÉ
DE
NOMOGRAPHIE
THEORIE DBS ABAQUES. - APPLICATIONS PRATIQUES-
Maurice d'OCAGNE,
B ET CBAUSaÉES, PROFESSEUR A l'eCOLI SES REFÊTITBUR A l'école l'OLY TECHNIQUE.
PARIS, GAUTHIER- VILLA RS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DD BDBBAU DES LONOITUDBS, DE L'BCOLB POLVTBCHMQUE. Quai dot Grindi-Auguatint, 55.
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INTRODUCTION.
Réduire à de simples lectures sur des tableaux gra- phiques, construits une fois pour toutes (*), les calculs qui interviennent nécessairement dans la pratique des divers arts techniques, tel est le but que se propose la Nomographie.
Si, à chacune des variables qui sont liées par une certaine équation, on fait correspondre un système d'éléments géo- métriques (points ou lignes), cotés au moyen des valeurs de cette variable, et que le lien établi par l'équation entre ces variables se traduise géométriquement par une certaine rela- tion de position facile à constater entre les éléments géomé- triques correspondants, l'ensemble de ceux-ci constitue un abaque de l'équation considérée.
C'est la théorie des abaques, c'est-à-dire celle de la repré- sentation graphique cotée des lois (^) mathématiques définies
(1) Ce caractère, absolument fondamental pour la Nomographie, la dis- tingue du Calcul graphique proprement dit, dont les principes ont été pour la première fois présentés avec quelque généralité par Cousinery, sous le nom bien choisi de Calcul par le trait (1840). Calcul auquel se rattache notamment la Statique graphique, et dans lequel, pour une opération effectuée sur des données particulières, on substitue à un calcul numérique le tracé d'une épure. On doit chaque fois, pour un choix différent des données, recommencer cette épure. Les abaques, au contraire, fournissent, à lafoisy le résultat d'une certaine opéralion/>ow/' tous les états possibles des données compris à l'intérieur d'un certain champ de variation. On peut dire que l'abaque synthétise en quelque sorte les constructions géométriques correspondant à une infinité d'états différents des données.
C*) En grec : vÔ(jlo;.
VI INTRODUCTION.
par des équations à un nombre quelconque de variables, qui est désignée aujourd'hui sous le nom de Nomographie (*).
Le principe de la représentation plane des équations à deux variables était acquis le jour où Descartes eut jeté les fondements de la Géométrie analytique.
Pour les équations à trois variables le premier exemple de représentation plane semble être dû à Pouchet qui, dans son Arithmétique linéaire (1795), fait usage d'un système de courbes cotées tracées sur un quadrillage régulier. La même idée se retrouve dans les travaux de d'Obenheim, officier du Génie {Balistique y 181 4 ; Mémoire sur la planchette du ca- nonniery 181 8); de Piobert, officier d'Artillerie {Mémorial de V Artillerie, 1826); de Bellencontre, également officier d'Artillerie (Afg'morf a/ de V Artillerie y i83o); d'Allix, in- génieur de la Marine {Nouveau système de tarif Sy 1840). C'est Terquem qui fit remarquer, à propos des publications de d'Obenheim et de Bellencontre {Mémorial de l'Artil- lerie^ i83o), la généralité de ce mode de représentation des équations à trois variables, en l'assimilant à celui des sur- faces topographiques au moyen de la projection de leurs courbes de niveau, dont les inventeurs furent Philippe Buache {Essai de Géographie physique dans les Mémoires de l'Académie des Sciences pour 1752), Ducarla {Exprès- sion des nivellements y 1782) et Dupain-Triel {Méthode nouvelle de nivellement y i8o4) (*).
Toutefois, dans cette première période d'une cinquan-
(*) C'est en publiant, en 1891, notre brochure : Les Calculs usuels effectués au moyen des abaques^ où cette théorie se trouve pour la pre- mière fois esquissée dans son ensemble, que nous avons proposé ce nom qui a reçu maintenant la sanction de l'usage, et que la Commission inter- nationale du* Répertoire bibliographique des Sciences mathématiques a adopté pour désigner la division X3 de ce Répertoire.
(*) D'après M. Favaro, l'emploi des courbes de niveau, dans certains cas particuliers, se rencontre chez divers auteurs plus anciens : Bassantin {Astronomique Discours, i^Sj); le P. Jean-François {Art du fontai- nier^ i665).
INTRODUCTION. VII
laine d'années, l'emploi des tableaux graphiques de calcul resta fort restreint. Il fallut que l'application de la loi du II juin 1842, qui avait décidé l'établissement de notre pre- mier réseau de chemins de fer, fît sentir la nécessité d'éva- luer par des méthodes rapides les terrassements considé- rables que comportaient de tels travaux, pour que des ingénieurs comme Lalanne et Davaine fussent amenés à se préoccuper du parti qui pouvait, à cet égard, être tiré des méthodes graphiques. C'est à cette heureuse circonstance que nous devons l'invention due à Lalanne (i843) de l'in- génieux principe de l'anamorphose qui, développé en un Mémoire paru en 1846 dans les Annales des Ponts et Chaussées, devait se prêter à de si nombreuses applica- tions.
Ce n'est qu'en ces dernières années que M. Massau, dans son important Mémoire sur V intégration graphique {An- nales de l^ Association des ingénieurs sortis des Ecoles spéciales de Gand y 1884) a porté le principe de l'anamor- phose à son plus haut degré de généralité.
Pour le cas particulier qu'avait d'abord envisagé Lalanne, M. Lallemand, ingénieur des Mines, a su donner aux abaques anamorphoses une forme spéciale, à laquelle il a attaché la désignation ai abaques hexagonaux (^Comptes rendus y 1886). Ces abaques, outre l'avantage d'une plus grande pré- cision dans la lecture, sont susceptibles de se prêter à l'intro- duction de variables nouvelles.
Nous avons de notre côté, dans les Annales des Ponts et Chaussées de 1884, fait connaître le principe d'un mode nouveau, et beaucoup plus général, de représentation gra- phique des équations, auquel nous avons été amené par une certaine transformation dualistique appliquée aux abaques de Lalanne et auquel nous avons, depuis lors, donné toute l'extension qu'il comporte, en montrant, par exemple, com- ment il se prête à la multiplication du nombre des variables.
La comparaison de ces diverses méthodes nous conduisit
VIII INTRODUCTION.
H opérer leur synthèse en une théorie unique, celle à propos de laquelle est né le terme de Nomographie, et qui a fait l'objet de notre brochure de 1891.
Nous avons eu Theureuse chance, en publiant cette théo- rie, d'inciter divers hommes techniques à effectuer de nom- breuses applications des principes qui s'y rencontrent, et plus spécialement de la méthode des points alignés (dite, dans cette première brochure, des points isoplèthes), appli- cations qui se trouvent mentionnées pour la plupart dans le corps du présent Ouvrage (Ch. III). En outre, M. Goedseels a, sous le nom d^abaques à transversales quelconques, étudié une généralisation intéressante des abaques à points alignés.
Nous avons, d'autre part, depuis la publication de notre première brochure, eu connaissance des travaux fort ingé- nieux poursuivis par M. le professeur R. Mehmke qui, en particulier, par sa méthode des images logarithmiques, a su tirer un parti nouveau de l'anamorphose logarithmique.
Nous étions donc fort encouragé à reprendre et à complé- ter la théorie dont notre brochure de 1891 ne contenait que l'esquisse. Plusieurs Notes publiées dans divers recueils, et dont on trouvera la liste ci-après, ont marqué les étapes de nos recherches dans la voie d'une plus haute généralisation. Nous pensons être maintenant parvenu au terme de la syn- thèse que nous avions entreprise. C'est pourquoi nous nous sommes décidé à publier le présent Traité.
Préoccupé avant tout d'être utile aux gens techniques : 1° nous avons, pour l'exposé de la théorie, adopté l'ordre qui consiste à partir du cas le plus simple, celui des équations à deux variables, pour atteindre progressivement à des cas de plus en plus compliqués; 2® nous avons, d'un bout à l'autre de cet exposé, multiplié les exemples d'application, tous puisés, dans la pratique des arts techniques, d'ailleurs, les plus variés.
Ces exemples d'application, ainsi que quelques digressions
INTRODUCTION. IX
d'un caractère plutôt accessoire, sont imprimés en petit texte.
La synthèse la plus générale, englobant toutes les mé- thodes possibles de représentation plane des équations à un nombre quelconque de variables, fait l'objet d'un der- nier Chapitre, celui par lequel nous aurions débuté si nous nous étions adressé aux seuls mathématiciens, et sur lequel nous nous permettrons d'attirer spécialement leur attention en raison des problèmes intéressants dont il peut leur fournir la matière.
Nous ne terminerons pas cette Introduction sans remer- cier bien sincèrement notre ami Albert Gauthier- Villars du soin qu'il a apporté à la publication de l'Ouvrage, et M. Du- porcq, ingénieur des Télégraphes, de l'excellent concours qu'il a bien voulu nous prêter pour la revision des épreuves.
Paris, i5 mai 1899.
M. d'Ocagne.
XII LISTE DBS PUBLICATIONS DE L AUTEUR
k. 1891. — Nomographie. Les calculs usuels effectués au moyen
des abaques. Essai d'une Théorie générale (Gauthier- ViUars).
5. » — La Nomographie (/?. G. 5., p. 6o4).
6. 1892. — Le calcul sans opération. La Nomographie (/?. Q. S.,
t. XXXII, p. 48).
7. 1893. — Sur une méthode nomographique générale (C /?.,
t. CXVII, p. 216 et 277).
8. » — Le calcul simplifié au moyen des procédés mécaniques
et graphiques (A, C. A. M.). [Tiré à part, sous forme de brochure.]
9. » — Problème d'Algèbre relatif à la Nomographie (A^. A.,
3" sér., t. XII, p. 469).
10. » — Sur les équations représentables par trois systèmes rec-
tilignes de points isoplèthes {Mathematical papers read at the international Mathematical Congress held in connection with the world's Columbian Exposition, Chicago, p. 258).
11. 1894. — Abaque en points isoplèthes de Téquation de Kepler
(5. M. y t. XXII, p. 197).
12. » — Abaque général de la Trigonométrie sphérique(^. yl.,
t. XI, p. 5).
13. » — Abaques de déblai et remblai en points isoplèthes
{A, P. C, mars, p. 467).
14. » — Conférences sur la Nomographie, faites aux élèves de
TEcole Polytechnique (Autographie).
15. 1896. — Abaque de l'équation des marées diurnes et semi-
diurnes (C B., t. CXXII, p. 298).
16. » — Sur les équations représentables par trois systèmes
linéaires de points cotés (C. B,, t. GXXlll, p. 988).
17. » — Sur l'emploi des systèmes réguliers de points cotés
dans la représentation des équations (/^^., p. i254).
18. » — Sur la représentation nomographique des équations
du second degré à trois variables (S. AI,, t. XXIV, p. 81).
19. » — Application générale de la Nomographie au calcul des
profils de remblai et déblai (A, P. C, mars, p. 4o6). [Tiré en brochure.]
RBLATIVRS A LA NOUOGRAPHIK. XIII
20. 1896. — Sur la représentation par des droites et par des cercles
des équations du deuxième degré à trois variables {S. P. M, K., 1" sér., t. VI, p. 93).
21. 1897. — S""* ^^ représentation des équations du second ordre
par des droites et par des cercles {S. M,, t. XXV,
P-9)-
22. » — Théorie des équations représentables par trois systèmes
linéaires de points cotés (A. M,, t. XXI, p. 3oi).
23. 1898. — Sur la méthode nomographique la plus générale résul-
tant de la position relative de deux plans superposés (C. /?., t. CXXVI, p. 397).
24. » — Sur quelques applications pratiques de la méthode des
points cotés (/?. G, S., t. IX, p. 116).
25. » — Application de la méthode nomographique la plus gé-
nérale résultant de la superposition de deux plans aux équations à trois et à quatre variables (S. M,, t. XXVI, p. 16).
26. » — Une leçon sur les abaques (J. E. P., 2» sér., 4* G.,
p. 2o5).
27. ») — Sur les abaques à points cotés pour équations à trois et
quatre variables {S.S,B., t. XXII, I*"" Partie, p. 78).
28. » — Sur les questions de Mathématiques pures que soulève
Tétude de la Nomographie (/?. D., Xllj, p. 177).
29. » — Sur les types les plus généraux d*équations représen-
tables par des systèmes cotés de cercles et de droites (Z. S., t. LXIII, p. 269).
30. » — Abaque de la nouvelle formule de M. Bazin, relative
aux canaux découverts {A, P. C, i*"" trim., p. 3o4).
D'OcAONE. Nomographie.
ERRA TA .
Page i3, $• ligne, au lieu de : « i'"'" », il faut : « î"""» ». Page n^yfig. 38, à côté de réchellc B inférieure, au lieu de : a, il faut : a,. Page 109, i4" et i5« ligne, supprimer: <* d'où résulteront les dimensinnsderabaque» Page ii3, dernière ligne, au lieu de j? : il faut : y.
Page 166, 8« ligne, au lieu de : « P.Q^ et P.Q^ », il faut : « P,//, et P,Q, ». Page 184, II* ligne, au lieu de : z, il faut : — z.
Page -yiA, dans Tcquation du n-90, /?, b, h sont exprimés en cm., 7 en kg par cm courant.
Page 221, 9« ligne en remontant, au lieu de : Go*'», il faut : 75*'^.
Page 222, 9* ligne, au lieu de : « au tiers », il faut : « aux \ environ ».
-^ « 1- ,. , A -+- A ., - h -h h' Page 238, 17* ligne, au lieu de : — ; — » il faut : — ;
Page 228, note en bas de la page, dernière ligne, ajouter « p. 4i *-
Page 229, y?^. 98, supprimer le petit rond à la rencontre du trait pointillé infé- rieur et de l'échelle (Z).
Page 24g, 21* ligne, au lieu de : « angles droits B et C », il faut : « angles B et C ».
Page 25o, dans les équations (a,), (aj), (aj) et («4), permuter x et y, et dans Téquation (a,), remplacer sin par cos.
Page 25i, sur la fig. loS, permuter a, et a,, le long des échelles horizontale et verticale.
Page 252, i3* ligne en remontant, au lieu de : « descend sur la verticale », il faut : « se transporte sur l'horizontale ».
Page 262, 12* ligne en remontant, au lieu de : « verticale », il faut : « horizontale ».
Page 3o4, dernière ligne, au lieu de : \xl' y il faut : kx -j-
X X
Page 3o5, 4' ligne, au lieu de : — » il faut : -y
X X
100 100
Page 309, i8* ligne, au lieu de : 5", il faut ; 3".
Page 320, 4* lir^ne, au lieu de « trouvent » il faut : « trouvant ».
Page 341, 22* ligne, au lieu de : 9, il faut : 93.
Page 348, 5* ligne en remontant, au lieu de : « deux derniers numéros », il faut :
« n" 125 et 12G ». Page 3G4, dernière ligne, permuter x et y.
Page 382, 8» ligne, au lieu de : m, m\ m*, il faut : /?»', m", m". Page 385, 9' ligne, au lieu de : IM, il faut : LM'.
Page 385, lo* ligne en remontant, au lieu de : m'|, m'f, m'j', il faut : m', m', m". Page 390, note en bas de la page, au lieu de : « notre Mémoire O.30 » il faut :
<c notre Note 0.23 et notre Mémoire 0.25 ».
Page 396, 2* ligne, au lieu de : « R, "^ '^'i **» *^ ^^ut : « E, w T\ ».
Page 4o3, deuxième note en bas de la page, au lieu de: « 0. 3 O», il faut: ^0.25».
Page 407, 6« ligne, au lieu de : E'3 h- 0>', il faut : E3 h= O'x'.
Page 409, 9" ligne en remontant, au lieu de : Illf, il faut : IIlJ.
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Page 422, II* ligne en remontant, au lieu de : f * il faut : Ll±A'
PJ\ Pif\
Page 4^3, 8* ligne en remontant, au lieu de : U'i , Uj, il faut : Uj, l'2.
Page 438> dans les équations (E/^) et (E'6) remplacer tous les a par des a.
Page 4G1, 12' ligne en remontant, au lieu de : X 4- «x 4- "ît, il faut : X 4- |x + v.
Page 4^3, le dernier alinéa (lignes 367) doit être remplacé par celui-ci : « Les égalités (9) et (10) montrent que chacun des syslè.ues (a,) et (aj) se réduit à une seule droite, et l'égalité (7) que ces droites coïncident. »
TRAITÉ
DE
NOMOGRAPHIE
CHAPITRE I.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES.
I. — Échelles de fonctions.
1. Echelle normale d^une fonction, — Soit /(a) une fonc- tion de la variable a, prise dans un intervalle où elle est uni- forme, c'est-à-dire n'a pour chaque valeur de a qu'une seule valeur bien déterminée.
Portons sur un axe Ox^ à partir de l'origine O {Jig'^)i les longueurs
/ étant une longueur arbitrairement choisie, et inscrivons, à côté
Fig. I. 0 CL a, a, a, It
I 1 ^H 1 1 \ O.-
des points qui liinitent ces segments, points qui seront marqués d'un trait, aussi fin que possible, perpendiculaire à l'axe, les va- leurs correspondantes ai, a2, as, ... de la variable ( ' ).
(') La première idée d'une éclieilc de ce genre, construite dans un cas par- ticulier, semble due à Gunter, au début du xvii* siècle {voir la note au bas de la page lo).
M. dO. I
2 CHAPITRE 1.
L'ensemble des points cotés ainsi obtenus constitue Véchelle de la fonction f {%), La longueur / est dite le module de cette échelle.
Cette échelle sera limitée à deux valeurs particulières a et 6 de la variable a.
Partant de la limite inférieure a, on pourra construire l'échelle sans faire intervenir l'origine O. Il suffira, en effet, pour obtenir les points ai, a2, aj, ... et 6 de porter sur l'axe, à partir du point coté a, choisi arbitrairement, les segments
5.- /[/(«a) -/(«)],
\^=l[f(b)-f{a)\.
L est la longueur de l'échelle; a et 6 sont ses limites.
Si, pour la construction de Péchelle, on fait croître la variable a par échelons égaux à un nombre rond (i, 2, 5, 10, . . .) d'unités d'un certain ordre décimal, on obtient une échelle normale de la fonction. C'est le cas de beaucoup le plus fréquent. Dans le choix de l'échelon il faut avoir soin que les points les plus rap- prochés sur l'échelle considérée laissent entre eux un intervalle voisin d'une certaine limite fixée par l'expérience et que nous appellerons le minimum d* intervalle graphique de l'échelle. Dans la plupart des cas ce minimum d'intervalle graphique sera fixé au millimètre ( * ). Tl pourra parfois être abaissé au- dessous. On reviendra plus loin sur ce point (n® 4).
Remarque. — Si la fonction /(a), après avoir crû dans un cer- tain sens, se met, à partir d'une certaine valeur de a, à croître dans l'autre sens, il sera nécessaire de reporter, à partir de cette valeur de a, l'échelle de la fonction sur un second axe parallèle au premier.
(') Disons une fois pour toutes que, si sur certaines figures de cet Ouvrage on rencontre des divisions beaucoup plus petites, cela tient à ce que ces figures ont été obtenues au moyen d'originaui que les nécessités du format ont conduit à réduire par la Piiotographie.
ÉQUATIONS A DEUX TARIABLES. O
2. Analyse de la graduation, — On réalisera, en général, par tâton- nements la condition relative au minimum d'intervalle. Il est facile néan- moins d'indiquer une marche rationnelle pour que la graduation obtenue satisfasse à cette condition.
Nous supposons a <i b. Admettons, en outre, pour fixer les idées, que de a à 6, les accroissements de la fonction, correspondant à des accroisse- ments égaux de la variable, aillent constamment en diminuant en valeur absolue. C'est, par exemple, le cas pour la fonction v^, de o à oo.
S'ils allaient constamment en augmentant en valeur absolue, comme pour la fonction a<, de o à oo, il faudrait, dans la marche qui va être indi- quée, partir de b au lieu de partir de a.
Si, enfin, ils allaient alternativement en diminuant et en augmentant, on fractionnerait l'intervalle total en intervalles partiels pour lesquels le sens de leur variation resterait le même.
Plaçons-nous donc dans la première hypothèse, et, prenant, par exemple, le millimètre comme unité de longueur, posons (*)
l\f{b)-f(a)\ = L,
la longueur L étant environ celle que nous voulons donner à l'échelle. De là nous tirons le module / correspondant, puis nous arrondissons la valeur trouvée, de façon à avoir pour ce module une valeur commode, ce qui conduit à une valeur de L voisine de celle que nous avions prise d'abord. Soit, pour fixer les idées, la fonction /a à représenter de a = i à a = loo. Adoptons pour notre échelle une longueur voisine de 9.00™'". Pour cela posons
/(/loo — /i) = 200""",
d'où
, 200
/= =22"™, 22
9
Nous prendrons évidemment ici / = 25"™, d'où résultera pour L la valeur
L = 25 X 9 = 225'
Lmm
La valeur de /étant ainsi déterminée, si nous désignons, en outre, par m le minimum d'intervalle graphique, nous poserons
l\f{a)-f{a-i)\=m.
De là, par les procédés de l'Algèbre, soit directement, soit par approxi- mations successives, suivant la nature de la fonction /(a), nous tirerons
la valeur de i. Cette valeur tombera entre 7 et
io«-»-i io«
(') La notation | X | indique la valeur absolue de X. On prendra donc la diiïé- rcnce/(/i) —/(a — e) ou /(a — e) —/(a) suivant que de a ~£ à a la fonc- tion est croissante ou décroissante.
4 CHAPITRE I.
Considérant les trois intervalles définis par
I 9. 5 I
f — rT^> — ZTT' — ::»
io«-^» 10»-»-* lo**-^! lo'*
nous verrons dans lequel de ces intervalles sera comprise la valeur de i. Nous commencerons dès lors à faire croître a par échelons successifs égaux à la limite supérieure de cet intervalle; si donc i tombe dans le premier
intervalle nous commencerons par faire croître a, à partir de a, de — j^^
en • Si I tombe dans le deuxième intervalle, nous ferons croître a de
,o«-»-i
5 5
en r» Si i tombe dans le troisième intervalle, nous ferons
lo'»-^* lo'»^-!
croître a de — - en — -•
De cette façon, nous sommes assurés que, jusqu'en un point qui sera déterminé plus loin, les premiers intervalles de l'échelle seront supérieurs à m.
Revenons à notre exemple de la fonction /ôc. Ici, puisque / = 25, nous avons, en prenant m = i"",
25(v/T— v^i— 0 = I, d'où
i — i=y^\ et 4=0,0784.
Comme on a
o,o5 < 0,0784 < o, I,
nous commencerons à faire croître a de o, i en o, i.
Si nous représentons par Oi la valeur de l'échelon adopté, nous pour- rons continuer à nous servir de cet échelon jusqu'à la valeur ai de a telle
que
^l/(«i)-/(«i-0i)|>/n>/|/(a,-4-0,)-/(a,)|.
Pour la régularité) nous ferons coïncider le changement d'échelon avec une valeur ronde de a. Il nous suffira donc de prendre la valeur ronde immédiatement inférieure à la valeur ai définie par la double inégalité ci- dessus.
Si la valeur ai est un peu inférieure à une valeur ronde dont elle est très voisine, on pourra tout aussi bien effectuer le changement d'échelon à cette valeur ronde parce qu'en somme la détermination du minimum d'intervalle graphique n'a rien d'absolu et qu'on peut, sans inconvénient, descendre légèrement au-dessous (*).
(') C'est pour cette raison qu'au n<* 1 nous avons dit que rintervalle entre les points les plus rapprochés devait rester voisin de ce minimum cl non lui rester supérieur, d'une façon absolue.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 5
Si nous revenons encore à notre exemple de /a avec / = 25""", nous voyons que l'échelon de o, î, que nous avons adopté à partir de la valeur i, ne devrait être théoriquement conservé que jusqu'à la valeur ai telle que
•25 i/âl— /ai — o,i) > I > 25 (/a|-4-o,i — /a, ),
ce qui donne ai = i,6, car on a
25(/r76 — \/i,5) = i,oo5, '>'5(/îT7 — /^6) = 0,972.
«
Mais ici on conservera évidemment l'échelon de o, i jusqu'à a = 2, pour prendre à partir de cette valeur l'échelon de 0,2. On voit que Técartement entre les points 1,9 et 2 sera égal à
25(/2 — y/ïTg) ou o'^,895,
dimension très admissible. En résumé, considérant la suite
2 5 10 20 5o îoo
•> • • • >
lo'»-^-» 10»-^-* lo^-^-i lo»-»-* io«-^* io«-»-*
appelons Oi l'échelon initial déterminé ci-dessus, qui est une des trois premières fractions écrites, et représentons par
VI, 65, 63, . . .
ce que devient la suite précédente lorsqu'on la fait commencer à ce terme.
Nous nous servirons, à partir de a, de l'échelon Oi jusqu'à la valeur ronde ai pour laquelle le produit
^l/(«i)-/(«i-ei)i
est le plus voisin de m, ce que nous exprimerons par la notation
^l/(«i)-/(«i-ei)|= mille.
Nous emploierons ensuite l'échelon Os jusqu'à la valeur a^pour laquelle, avec la notation précédente, on aura
^l/(«î)-/(«t~Ô,)|=mdie,
et ainsi de suite.
Sous une forme encore plus condensée, nous pourrons énoncer la règle à laquelle nous avons abouti sous la forme suivante :
CHAPITRE I.
Données : Fonction /(a); Limites a et 6 ;
Longueur approchée de Téchelle Lo; Minimum de l'intervalle graphique m.
Opérations :
\^ Donner à / la valeur arrondie satisfaisant à Téquation
l\f{b)-f{a)\ = U±t^ 7.^ Déterminer ô| en prenant celle des trois quantités
•2 5 lO
' — r— . »
10'*-^ > lo'*-^* 10'*-^^ qui est immédiatement supérieure à la valeur i défînie par
l\f{a)^aa-i)\r=.m±i.
Soit
Oi, 6j, 6s, 64, O5, ...
la portion de la suite
2 5 10 îto 5o
qui commence à Ô}.
3" Déterminer «i, aj, as, ... par les équations
l\f{a,)-f(,a,--^^)\=m±t, ^l/(«î)-/(«î-0,)| = /n±:e, ^l/(«3) — /(«3 - 0,)| = m ± e,
Des lors, la graduation procédera par échelons Oi de a à ai, par éche- lons Ot de ai à a^^ par échelons Ô3 de a^ à as, ..., et ainsi de suite jusqu'à 6. Rien d'ailleurs n'empêche, si les nombres a/^i et a/ semblent trop rapprochés, de sauter 0| et de passer immédiatement à 0/-f.i.
Remarque, — En raison de l'égalité des échelons successifs dans chaque section de la graduation, il est inutile d'inscrire les cotes de tous les points constituant cette graduation. Il suffira d'inscrire ces cotes de distance en distance, de telle façon qu'il n'y ait point d'hésitation à déterminer mentalement les cotes des points intermédiaires. C'est ainsi que, sur un double-décimètre,
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 7
la chifTraison en centimètres suffit, la lecture étant d'ailleurs rendue plus facile par rallongement des traits correspondant aux demi-centimètres. Un artifice analogue pourra toujours être mis en œuvre avec toute autre graduation.
3. Construction géométrique d^une échelle, — Pour con- struire l'échelle de la fonction /(a), on peut avoir recours à la courbe C dont l'équation est
Il suffit de prendre sur la courbe le point dont l'ordonnée est a pour que l'extrémité de son abscisse donne sur Ox le point coté a de l'échelle demandée.
Si la courbe C peut être obtenue point par point au moyen d'une construction géométrique simple, son tracé dispense de tout calcul.
Supposons, par exemple, que la fonction dont on désire
l'échelle soit y/a^ — a^, a étant une constante; dans ce cas, le module / étant égal à i , la courbe C, définie par l'équation
sera un cercle de rayon a ayant son centre à l'origine ; son tracé est immédiat.
Sans que la construction soit toujours d'une aussi grande sim- plicité, on conçoit, par cet exemple, le parti que l'on pourra, le cas échéant, retirer de l'emploi d'une construction géométrique.
Le plus souvent, on procédera de la façon suivante : ayant déterminé directement un certain nombre de points de cote ronde, on élèvera en ces points, perpendiculairement à l'axe portant l'échelle, des ordonnées proportionnelles à leurs cotes. Les extré- mités de ces ordonnées sont autant de points de la courbe G. On tracera dès lors cette courbe et Ton s'en servira ainsi qu'il vient d'être dit pour obtenir les points de l'échelle, intermédiaires entre ceux qui ont été obtenus directement.
La détermination des échelons successifs se fera ici avec une grande facilité. On donnera à l'ordonnée y des accroissements successifs égaux à un certain échelon jusqu'à ce que l'accroisse-
8 CHAPITRE I.
ment correspondant de l*abscisse x tombe au-dessous du minimum d'intervalle graphique choisi. On adoptera alors un échelon supé- rieur au précédent et on le conservera jusqu'à ce que la même circonstance se reproduise; et ainsi de suite.
Remarque. — Le procédé géométrique ci-dessus permettra de construire l'échelle d'une fonction définie par une courbe C ob- tenue expérimentalement.
4. Interpolation à vue. — Un point étant pris sur l'axe de l'échelle, en dehors des points qui constituent sa graduation, on pourra se proposer d'évaluer approximativement la valeur corres- pondante de la variable a. Cette évaluation porte le nom à^ inter- polation à vue.
Les deux points de la graduation qui comprennent le point con- sidéré fournissent des valeurs approchées par excès et par défaut de la valeur cherchée, au degré d'approximation défini par l'échelon correspondant.
La question qui se pose consistera apprécier l'appoint à ajouter à la valeur approchée par défaut pour avoir la valeur cherchée.
Cet appoint s'estime au jugé d'après l'allure de la graduation aux environs du point considéré.
Soit, par exemple, à lire la cote du point M sur l'échelle de la fig. 2. On aura sensiblement pour cette cote la valeur 3,47»
Sur l'échelle de \dijig. a bis, on aurait 3,45.
Fig. 2. Fig. 2 bis.
I I I L_J I I I I
M
On voit que le degré de précision de ce genre d'interpolation dépend du plus ou moins d'habitude du lecteur.
Toutefois l'expérience prouve qu'un lecteur tant soit peu exercé arrive à ne pas se tromper du -^ de l'échelon lorsque l'intervalle graphique n'est pas sensiblement inférieur à i"™.
Avec un intervalle de o"",5 l'approximation n'est pas sensi- blement supérieure au \.
Cela montre qu'il n'y a pas de sérieux avantage à employer des intervalles inférieurs à i™°.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 9
Il y aurait sur ce point particulier à faire une élude qui relève (le la Physiologie. Il est probable que le degré d'approximation rt'latif est à peu près constant pour des divisions supérieures à i"" environ et qu'il décroît, à partir de là, avec une assez grande rapidité.
Remarque, — Les échelles construites dans la pratique, sous les dimensions qui ont été reconnues commodes, ne donnent gé- néralement que trois chiffres significatifs (exceptionnellement quatre); encore le dernier chiffre n'est-il fourni que par l'interpola- lion à vue, ainsi que cela a lieu avec les graduations du double- décimètre et de la règle à calcul. Ce degré d'approximation suffit d'ailleurs dans une foule d'applications, et notamment dans celles qui relèvent de l'art de l'ingénieur.
S. Échelles usuelles. — Les échelles les plus fréquemment employées dans les applications (*) sont les suivantes :
I® Echelle régulière, — On a une telle échelle quand la fonc- tiony(a) se réduit à a, parce qu'ici les points obtenus en faisant croître a par échelons égaux sont régulièrement espacés sur la droite portant cette échelle.
Le type de cette échelle est fourni parla graduation du double- décimètre {Jig* 3)^ il est inutile d'y insister.
Fig 3.
ItMlIlIlMllllIllllIlillUlIlIllllIllllIlMMllllIllllIlIlJllllIlMlIllllIllllIllllIlllllilllIlllll
La distance constante entre points dont la cote diffère d'une unité donne dans ce cas le module de l'échelle.
2** Échelle logarithmique. — C'est l'échelle de la fonction
(*) La construction de ces échelles s'effectue très rapidement lorsqu'on dispose de Tables numériques, qui se rencontrent aujourd'hui dans un grand nombre de manuels, telles que : Tables des carrés, des cubes, des racines carrés et cu- biques, des inverses et des logarithmes des nombres; Tables des lignes trigono- métriques naturelles et de leurs logarithmes.
lO CHAPITRE I.
!«»• Un exemple très courant en est fourni par la graduation dfî' h règle à calcul ordinaire ( * ) {fig- 4)-
Fig. 4.
• * ■ '.; ' ; *.!.!j.l.ltl:illll.l.l.l.l . hllIlIlIllillIlhllIlIlilIlIlIlIlIlIlIlIlIlIllJlIlIlIlIlIllllIllMhlIlIllIlIllllIlirJ »•'— 2 3 *^ 5 6 7 8 9
Sur cette graduation rinlervalle entre les points î et lo est do ia5"*", et les échelons sont de 0,02 de i à 2, de o,o5 de 2 à 5, oiiiin de 0,1 de 5 à 10.
Voici au surplus comment Tanalyse de cette graduation peut être faite
conformément au procédé qui se trouve résumé à la fin du n** 2.
Prenons
L= liS""", m = o"'",5.
Le module est donné par
/(log 10 — log 1) =125"",
d'où
Pour déterminer Oi nous avons l'équation
ia5[logi — logd — 0] = 0,5,
d'où
log( 1 — 0 = —0,004 = 1 ,995 et
I — i= 0,988
e = o,oJ2. Comparant cette quantité aux trois suivantes
0,02, o,o5, 0,1,
nous voyons qu'ici il faut prendre
6| = 0,02
et, par suite,
Gj = o,o5,
03 = 0,1.
(') La première échelle logarithmique semble avoir été construite par Gunter (1581-1626). Voir notre brochure 0.8, p. 56.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. Il
Les valeurs ai, a^, a^ sont alors données par les équations
i25[logûri — log(ai — 0,02)] = o,5,
i25[logaj — log(a2— o,o5)] = o,5,
i25[loga3— log(a3--o,i )] = o,3,
ou
log 1 = log = — - = log = o,oo4,
° ai — 0,02 °aj— o,o5 "aj — o,i
ou encore
ou enfin
ai a^ aj
= i,oi,
ai — 0,02 aj — 0,03 a^ — o,i ai a? aj i ,oi
= lOI
|
0,02 O,00 0,l |
0,OI |
|
nt comme il a été dit, |
|
|
a, -2, |
|
|
aj. - 5, |
|
|
a3=-- 10. |
Un autre modèle usuel de règle à calcul (*) porte une échelle logarithmique pour laquelle Fintervalle de i à lo (fractionné en deux tronçons superposés sur la règle) a une longueur de i°*. Sur cette règle l'échelon est de 0,002 de i à 2, de o,oo5 de 2 à 5, et de 0,01 de 5 à 10.
Il est essentiel de remarquer que, si l'on prolonge l'échelle logarithmique au delà de 10, elle se reproduira de 10 à 100 avec la même longueur et les mêmes intervalles, mais ceux-ci corres- pondant à des échelons dix fois plus grands ; de même de 1 00 à 1000 avec des échelons encore dix fois plus grands, et ainsi de suite. En d'autres termes, sur l'échelle de i à 10, d'abord con- struite, les unités peuvent être prises comme se rapportant à un ordre décimal quelconque, c'est-à-dire que le degré d'approxima- tion relatif est constant.
La justification de cette remarque résulte de ce que
/logCio^a) = l(n -+- loga),
en sorte que, de io"~* à 10'* l'échelle est la même que de i à 10.
•
(*) Construit par la maison Tavernier-Gravet, à Paris.
12 CHAPITRE I.
11 suffit seulement de supposer rorigine rejetée à la distance ni de l'origine primitive dans le sens négatif.
3^ Échelle segmentait e. — Cette échelle, d'un emploi très
fréquent aussi, est celle qui correspond à la fonction •
Soient A et B les points de cette échelle correspondant àa = o et a = 00. Si M est le point correspondant à une valeur a quel- conque, on voit immédiatement que
AM _
MB "''•
Autrement dit, la cote de chaque point fait connaître le rapport des segments déterminés sur AB par ce point; d'où le nom A"* échelle segmentaire.
Si nous prenons pour la longueur de l'échelle entre les limites o et 00 la valeur L=2oo°*™, ce qui donne pour le module /=ioo™™, et si nous adoptons pour minimum de l'intervalle graphique m = i™™, nous voyons, en appliquant le procédé indiqué au n** S que l'échelle peut être constituée {fig- 5) (*) au moyen des échelons suivants (^) :
De o à o,5 o,oi
o,5 I o,02
ï 4 0,1
4 lo 0,5
10 i5 I
1 5 3o 5
3o 5o lo
5o 100 5o
(') L'échelle construite avec le module indiqué ici a été réduite par la Pho- tographie pour donner \^fig. 5.
(') Ces échelons ont été déterminés rigoureusement par la condition de ne pas descendre au-dessous du minfmum d'intervalle graphique qu'on s'est fixé. M. Prévôt, qui a une grande habitude du maniement pratique des abaques, estime qu'il vaut mieux sacrifier un peu cette condition pour n'opérer les changements d'échelon que sur des nombres constitués par des puissances de lo multipliées par 1,2 ou 5. Par exemple, dans le cas ci-dessus, on prendrait :
De là a o,o5
2 5 f) , î
5 10 o,5
10 20 I
2o 5o 5
5o 1 00 I o
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. l3
On voit qu'ici la portion de l'échelle correspondant ^"'6- 5- à la variation de a de loo à oo est un peu inférieure à
i"*°»,
o.a
:— o>
-0.3
-o,s
-0.6
0,-»
-0.8 0.9 - I
Mais si, dans une application, a doit varier entre telles limites que l'on veut, comprises dans cet inter- valle, par exemple de lOO à 200, on n'aura qu'à con- struire entre ces limites une échelle ayant la longueur convenable pour l'application qu'on aura en vue.
Nous jugeons inutile d'insister davantage sur la con- struction des échelles usuelles. Ce qui précède suffira, sans doute, à montrer la voie à suivre dans des cas analogues.
6. Echelles dérivées. Etalons de graduation, — Lorsqu'on possède une échelle de la fonction /(a), il est très facile de construire l'échelle de la nouvelle fonction obtenue en y remplaçant a par une certaine fonction de a et, plus particulièrement, par/>a + 5r, ce qui est le cas le plus ordinaire.
La nouvelle échelle est alors dite dérivée de la pre- mière, et celle-ci prend le nom à! étalon. Les échelles construites précédemment, si on les envisage à ce point de vue, seront donc appelées : étalon régulier, étalon logarithmique, étalon segmentaire.
Supposons, par exemple, qu'on ait à construire sur un axe l'échelle de laf onction log(/>a -h q). On part de la valeur a = a et l'on commence à construire l'échelle avec un certain échelon 8.
Ayant appliqué l'étalon logarithmique le long de l'axe à graduer, on marque d'abord un trait en face du point de l'étalon dont la cote est pa -h gr, puis, à partir de là, d'autres traits en face des points de cet étalon pris de/?8 en/?0. Comme, en général, />8 a une valeur simple telle que 0,1, 0,2, o,5, cette opération se fait très ra- pidement. Elle n'est, en tout cas, pas plus compliquée que celle qui consiste à porter sur un axe la gradua- tion /?a -h y au moyen de l'étalon régulier.
On pourra même énoncer cette opération en disant tout sim-
10
15 10
l4 CHAPITRE 1.
plement que Von porte la graduation poL-\-q au moyen d'un étalon logarithmique.
Tout dessinateur devant aujourd'hui avoir sous la main un étalon logarithmique (graduation de la règle à calcul) aussi bien qu'un étalon régulier (graduation du double-décimètre), on voit qu'aw point de vue de la simplicité de la construction il sera indifférent d'adopter une solution comportant le tracé de l'échelle soit de /(ol), soit de log/(a). On trouvera dans la suite de l'Ouvrage de nombreuses occasions d'appliquer cette remarque, l'emploi des échelles logarithmiques y étant très fréquent.
7. Echelles transformées. Echelle linéaire générale. — On peut également déduire d'une échelle donnée d'autres échelles par application de transformations géométriques simples ^ les nouvelles échelles ainsi obtenues sont alors dites transformées de la première.
L'exemple le plus simple qui puisse être donné d'une telle, transformation est celui de l'échelle linéaire la plus générale (*), qui se déduit homographiquement d'une échelle régulière.
Une telle échelle est définie par l'équation
ma -h n ^
X = 1 avec 0 = ma — np ^ o.
poL-hq ^ ^
Si, sur le support A' A de l'échelle, nous reportons l'origine au
Fig. 6.
point A' ^fig. 6) correspondant à la valeur a' de la variable, l'équa-
(') Il est essentiel de remarquer que le terme de linéaire^ ici défini, ne doit pas être confondu avec celui de rectiligne, qui désigne les échelles dont le sup- port est une ligne droite, quelle que soit leur graduation.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. l5
lion qui définit l'échelle devient
o(a — a')
A — — ; Y •
/? a-f- q'
Par le point A' menons un axe A'B de direction quelconque, sur lequel nous porterons une échelle régulière d^ intervalle également quelconque, mais telle que son point cfJ coïncide avec le point A'. Cette échelle sera des lors définie par une équation de la forme
La droite joignant les points A et B, cotés a sur Tune et l'autre échelles, a pour équation, par rapport aux axes A' A et A'B,
o(a-a') A-(a — a')
ou
k{p'a -+- q')\ -u rj\ = X-8ra — a').
Cette équation renfermant le paramètre a au premier degré, la droite AB passe par un point fixe P, qui sera dit le centre de rayonnement.
Pour construire ce centre, il suffit de prendre les couples de points A" et B'', A''' et B'" correspondant à deux valeurs quel- conques a!' et a"' du paramètre, et de prendre l'intersection des droites A'B'' et A''' B'''.
L'échelle régulière portée sur A'B, projetée à partir du centre P, donne sur Pi! K C échelle linéaire demandée,
" Remarque, — Si Ao et A„ sont les points cotés o et oo, on a, pour les abscisses de ces points,
n m
Xq ■= — 9 Xn = — •
7 P
Donc
■s
_ _ mai -^ n n oa
/\() i\ ^^ X —^ Xy)
pcc-h^cj q q(p^^g)
P P^-^ q p(poL-^ q)
OU, par suite,
AqA _p
AAoe ~ q
l6 CHAPITRE I.
Cette dernière égalité montre que, lorsqu'on a marqué les points Ao et A„, l'échelle linéaire peut être obtenue comme dérivée; d'un étalon segmentaire de même longueur (n° o, 3**, et n»6).
8. Echelles iso grades. — Nous avons supposé jusquMci que pjg ^ l'échelle était construite pour des valeurs de la va- riable croissant par échelons égaux. Cela conduit, pour toute échelle autre qu'une échelle régulière , à des points irrégulièrement espacés sur la droite servant de support. Rien n'empêche, si l'on préfère avoir des points régulièrement espacés, de satisfaire à cette condition en sacrifiant alors l'égalité des éche- lons. On obtient ainsi ce que nous appelons une échelle
p- 1.00
- 1.0*
- 1.09
- I.1S 1.21
1.26
_ 1.32
- 1.38 l.«»5 1.52
1.58
- 1.66
- '•'" isosrade,
- 1.82
- I f 1 _ 2.00
- 2.09 . 2.19
- 2.29 _ 2>0
2.52
- 2.6'» _ 2.76
- 2.89
_3..6 7=/(GCi)-/(a)=/(aO-/(«i)=/(a3)-/(»î)=....
3.33 e
'3.1^7
3.63
3.81 La détermination de ai, a2, as, ... se fera très aisément 3.99
Le principe de la construction d'une telle échelle est bien simple. Partant de la valeur «, et s'étant donné, en outre du module /, Tlntervalle constant / entre les points de division successifs, on détermine les cotes ai, a2, as, ... de ces points par les équations
1, 17 si l'on possède une Table de la fonction /"(a). On n'aura qu'à relever les valeurs de l'argument correspondant à des valeurs de la fonction croissant en progression arithmétique.
\udifig, 'j donne l'échelle Içgarithmique isograde con-
*^.37 •».58 V.79 _ 5.02
- 5.25 _ 5.50
- 5.76 f- 6.03 • 1 » / ^ • ••
_6,3i struite de o a 10 avec 1=^ i25'""*, i=z 2'"",o.
6.61 _ 6.92
- 7.25
- 7.59
- 7.95
- 8,32 _ 8,71
- 9,12 -' 9.55
_10
Le défaut d'une telle disposition est d'exiger une chiffraison complète, au lieu que, avec les échelles nor- males, comme nous l'avons indiqué dans la remarque finale du n** 2, on peut n'inscrire des chiffres que de loin en loin, comme sur un double-décimètre. Nous en signalerons plus loin un avantage (n° 29, 2°).
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 17
II. — Abaques d'équations à deux variables.
9. Abaques à échelles accolées, — Prenons d'abord l'équalion à représenter sous la forme
«t = /i («1 ),
qui est très fréquente dans la pratique.
Supposons construites, de part et d'autre d'un même axe et à partir de la môme origine, les échelles
x = lat et iF = //i(aci).
Dès lors, deux valeurs de ai et de a2, se correspondant en vertu de l'équation précédente, seront inscrites en face d'un même point de l'axe supportant les deux échelles. Il suffira donc, étant donnée l'une d'elles, ai par exemple, de lire la valeur de aj cor- respondanty sur la seconde échelle, au point coté (i\ sur la première.
Si (i\ a pour limites ax et 6|, on construira l'échelle (a, ) entre ces limites et l'échelle (a2) entre les valeurs correspondantes a^ et &29 données par
Exemples :
!• Abaque du nombre probable des écarts, — Si la fonction S{t) est . définie par l'égalité (*)
0(0
= -^ f'e-rdt,
on sait que le nombre probable N, sur 1000, des écarts inférieurs, en valeur absolue, à celui dont le rapport à l'écart probable est p, est donné par
N= 1000 e(p).
Preuant comme module / = o"'",i3, on aura l'abaque de cette équation en construisant sur un même axe les deux échelles
a7=o°"»,i3N et ar — 1 So"^"* e( p ).
(») On possède les Tables de cette fonction. Voir notamment le Calcul des probabilités de M. J. Bertrand, p. 839.
M. D'O. 2
i8
CHAPITRE I.
On obtient ainsi Ufig, 8, empruntée au TraUé de nwellement de haute précision, de M. Lallemand (i).
Fig. 8.
Si
3X>
2.0
N
.1000
1.5-
MO
800
1.0
700
0.5
600
SOO
%00
4-. 300
tl
MO
100
(*) Page 227 du tirage à part de cet Ouvrage, extrait du Volume : Lever des plans et nivellement de Y Encyclopédie des Travaux publics (1889), c' P^gc 5^5 de ce Volume.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES.
«9
>.** Abaque de la dépression de l'horizon, — La formule qui fait connaître, en minutes, la dépression 8 de l'horizon de la mer en fonction de l'altitude h, en mètres, de l'œil de l'observateur au-dessus du niveau de la mer, lorsqu'on tient compte de la réfraction, est
0 = 1,8385 /Â.
Si, prenant pour module / = 8"°*, on construit sur le même axe les deux échelles
X = 8""» 0
et
x= 14™°, 708 /A,
on obtient la yî^. 9, empruntée au Mémoire de M. Favé sur les Éphémé- rides graphiques (*).
F«8- 9-
W? JS" 30" 2S
20'
15?
(7t) 10'!'
l|ii|IV|Vi'[W|'ikyiiwi'|il|\i|^J^
5» i^m 3» 2** 1'
Mil. Il '
12*
ir
10'
9'
8'
I ifriifiiririii
7'
6'
(3)
S' %• 3'
rm
rr
r
0-
Les calculs nautiques s'effectuant encore à Taide de la division sexa- gésimale du cercle, l'intervalle correspondant à chaque minute d'angle a été divisé en six parties égales, de sorte que l'échelle de la dépression est divisée de 10 en 10 secondes. D'après ce que nous avons dit à propos de rinterpolation à vue (n° 4), un bon lecteur obtiendra donc sur cette échelle la dépression à i seconde près.
Par exemple, pour h = 15°, on lit 0 = 7' 7'.
Remarque. — Nous avons supposé les deux échelles portées sur le même axe, mais nous pouvons tout aussi bien les supposer portées sur deux axes parallèles, les points se correspondant de l'un à l'autre sur des perpendiculaires à leur direction commune, qu'on pourra mener par les points de division de l'une des deux échelles, (a2) par exemple.
10. Inversion des échelles, — Reprenant l'équation
»2=/l(Xl),
(') Annales hydrographiques; 1894.
20 CHAPITRE 1.
supposons qu'on la résolve par rapport à a|. Elle devient alors
«i=/i(«î)- Les fonctions /i et/2 sont dites inverses l'une de l'autre.
Fig. 10.
P N
* M3
oi.
9C3
800
700
MO
SOO
MK>
300
200
100
On pourrai I construire l'abaque de l'équation mise sous cetle
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 21
nouvelle forme ainsi qu'on l'a fait précédemment, mais si le pre- mier abaque a déjà été construit, l'établissement du second est immédiat. Il suffit, en effet, après avoir disposé le long d'un axe une échelle régulière pour ai , d'inscrire de l'autre côté de l'axe les valeurs correspondantes deaa, relevées sur le premier abaque.
Les échelles qui accompagnent l'échelle régulière sur l'un et sur l'autre abaque sont dites, comme les fonctions correspondantes, inverses l'une de l'autre.
Par exemple, si l'on opère l'inversion de l'échelle de l'abaque de \dLjig. 8 on obtient l'abaque de \^fig, lo, qui se rencontre dans le Cours d^ Artillerie du commandant Jouffret (* ).
11. Abaques à deux échelles irrégulières. Échelles loga- rithmiques, — L'équation entre ct.^ et a2 peut encore être mise sous la forme
/i(ai)=/î(«»)»
soit qu'on ne puisse, par les procédés de l'Algèbre élémentaire, dégager du signe fonctionnel ni ai ni a2, soit qu'on ait intérêt à adopter pour l'une des variables une échelle spéciale. Il arrivera notamment que, en vue d'avoir pour l'une des variables une approximation relative constante, on la représentera par une échelle logarithmique.
La construction de l'abaque dans cette hypothèse est tout aussi simple. II suffît de placer, de part et d'autre d'un même axe, les échelles définies par
x=//i(a,) et x = lft{0Lt).
Voici, à litre d'exemple, l'abaque de l'équation
tangai = sinaj,
dressé par M. Lallemand avec /= o", i [fig- 1 1).
(*) Cours d* Artillerie : Les Projectiles^ p. ii8. (Fontainebleau, i88i.) Le commandant JoufTret considérant non pas la valeur absolue des écarts, mais ces écarts eux-mêmes pris avec leur signe, l'échelle se reproduit symétriquement de part et d'autre du zéro, les cotes de l'échelle du nombre probable des coups étant diminuées de moitié.
22 CHAPITRE I.
Si. Inéquation étant mise sous la forme
(I) ai=/»(aj),
on adopte pour la variable ai réchelle
(•2) ^ = 9i(ai),
l'échelle de la variable a^ s'obtiendra par l'élimination de a^ entre
Fig. II.
\b?.
k09.
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•S
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10«
-60«
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.30*
3 C
.20«
10*
-0<
équations (1) et (2), ce qui donnera
Si l'élimination peut se faire sous cette forme explicite, on est ramené au cas précédent. Sinon, après avoir construit réchelle (tti), on calcule les valeurs de ai qui, en vertu de l'équation (i),
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 23
correspondent à un certain nombre de valeurs de a, et, en face des points ainsi obtenus sur Téchelle (ai), on inscrit ces valeurs de a2. On obtient de cette façon Péchelie (a2) sans avoir eu à efiectuer l'élimination algébrique destinée à faire connaître l'équa- tion (3).
Exemple : Abaque auxiliaire pour le calcul de V erreur probable d'une nivelée, — Dans la détermination de l'erreur accidentelle probable d'une nivelée par diagrammes anamorphoses, l'abscisse X et l'ordonnée Y, à Torigine, de la droite de répartition sont données, en décimillimètres, par les formules
(I) X = 6,447^/2,823 — lOgYJ,
(2) Y = — ,
en fonction de l'erreur probable 7;, qui est représentée par une échelle logarithmique.
L'abaque de l'équation (2) se construit immédiatement, / étant le module, au moyen des formules
a7 = /log7), a? = /(log665 — logY).
En prenant / = 1 1*™, on obtient ainsi l'échelle de gauche de la Jlg. 12 (*). Pour construire directement l'échelle (X) de l'équation (i), il faudrait, après avoir éliminé t) entre cette équation et l'équation
x= /logT), ce qui donne
X /
X
X = 6,44 X 10' i / 2,823 — y
>
tirer de là x sous forme explicite, ce qui ne se peut pas. On est donc obligé de procéder comme il vient d'être dit, c'est-à-dire de calculer les valeurs de X pour un certain nombre de valeurs de t] et de marquer les points correspondants en se servant de l'échelle de r^. On obtient ainsi Téchelle de droite de la^ï^. 12.
Remarque, — Nous avons supposé jusqu'ici que les échelles étaient toujours construites sur des droites. C'est en effet ce qu'il j a de plus simple; mais rien, le cas échéant, ne s'opposerait à
(') Cette figure reproduit \a fig. 77 du Traité de nivellement de haute préci- sion de M. Lallemand.
H^ CHAPITRE r.
ce qu'elles fussent disposées le long d'une courbe, si, par exemple, ' les valeurs de l'une des variables provenaient d'un premier abaque où celte variable serait nécessairement représentée par des points cotés distribués sur une certaine courbe.
Kic ;
12. Abaques cartésiens à deux variables. — On peut affecter à chacune des deux variables une échelle régulière en établîssaiit le lien entre points correspondants par l'intermédiaire d'une courbe.
Imaginons que l'on porte sur deux axes rectangulaires Oa: et O^ les échelles
et que, par les points de division marqués sur chacun de ces axes, on leur élève des perpendiculaires.
Si les valeurs ai et k, satisfont ensemble à l'équation
<>)
¥(«,,"*) =
les perpendiculaires élevées aux axes correspondants parles points cotés a, et aa se coupent en un certain point. Les points répon- dant ainsi aux divers couples de valeurs a., et oc, satisfaisant à
Aquitions a deux variables. l'équation (i) sont distribués sur une certaine courbe C qui port<!e aux axes Ox et Oy, a pour équation
Kr^)-°-
Les divers points de la courbe C, déterminés individuellement, sont facilement marqués sur le plan grâce au quadrillage ci-dessus défini, et l'on voit que la courbe C obtenue en joignant tous ces points suffit à constituer un abaque de l'équation (i). Un tel abaque dérivant de l'emploi des coordonnées cartésiennes sera dit cartésien .
Fig. i3.
<N).
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900 |
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|
(f)
Si l'on se donne l'une des variables, a, par exemple, il suffit de prendre le point où la courbe C est rencontrée par la perpendi- culaire à Ox passant par le point de cet axe coté a, et de lire la cote scg du pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur O^-.
26 CHAPITRE I.
Il ne sera d'ailleurs pas nécessaire de tracer ces perpendiculaires. Si, par hasard, elles coïncident avec deux des droites du quadril- lage, cela va de soi. S'il n'en est pas ainsi, on peut, par la pensée, les intercaler entre celles-ci, effectuant de la sorte sur le quadril- lage une interpolation à vue, analogue à celle dont nous avons déjà parlé (n" 4) à propos des simples échelles.
Voifig, i3 donne un abaque de ce genre pour l'équation
N = loooe(p)
déjà envisagée au n° 9, construit avec les modules /, rr: i <=™ pour Oa% /j = o*^™, oo4 pour Oy .
Remarque, — Si la variable ai a pour limites les valeurs a s et 6|, il n'y a lieu de tracer la courbe C qu'entre les perpendicu- laires à Ox correspondant aux points x:=zlya^ et.r= /i^i. Les perpendiculaires abaissées sur Oy des extrémités de cet arc de courbe déterminent les limites correspondantes «2 et b^ de la variable a2.
13. Emploi d^ un transparent, — Pour éviter à la fois le tracé d'un système de droites parallèles et la nécessité d'effectuer, le cas échéant, une interpolation à vue entre ces droites, il est tout naturel d'avoir recours à une droite tracée sur un transparent mo- bile mais convenablement orienté, qu'on fera glisser sur l'abaque.
Selon le cas, on se servira de cet artifice pour l'un des deux ou pour les deux systèmes de droites parallèles constituant le qua- drillage défini au numéro précédent.
Dans les deux cas, le transparent portera deux axes rectangu- laires qui seront dits ses index. Si l'on fait glisser l'un d'eux le long de l'axe Ox de l'abaque, les diverses positions de l'autre suppléeront aux perpendiculaires à cet axe non tracées. On en trouvera un exemple plus loin (n"23; 3*^).
Si, en maintenant ses index respectivement parallèles aux axes de l'abaque, on déplace le transparent de façon que son centre (point de rencontre des index) reste sur la courbe C de l'abaque, on voit que, pour chacune de ses positions, les cotes des points où les index couperont les échelles des axes fourniront un système de valeurs correspondantes.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 27
Pour maintenir l'orientation du transparent, on peut tracer sur l'abaque une série de parallèles à la direction de Tun des axes, laissant entre elles des intervalles égaux assez petits, 5"™ par exemple. L'index du transparent parallèle à l'axe considéré tom- bera entre deux de ces parallèles, et l'on sait que l'œil apprécie très exactement le parallélisme de deux droites peu écartées l'une
de l'autre.
Fig. i4.
Y
" |1.
O^M I I I I I I I I I I I j I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I M IX à 1 ! 2 3 i
(?)
On peut aussi constituer le transparent au moyen d'une ma- tière rigide et mince (verre, corne, celluloïd, etc.) ayant deux bords rigoureusement parallèles aux deux index. Dans ce cas, après avoir mis l'index I2 en coïncidence avec O^, de façon que le centre du transparent se trouve au point coté a,, on applique une règle contre le bord du transparent parallèle à I| et l'on fait glisser ce transparent le long de cette règle jusqu'à ce que son centre soit venu sur la courbe C. L'index I2 rencontre alors l'axe Ojr en un point dont la cote fait connaître ol^-
28
CHAPITRE I.
hdi Jlg. i4 reproduit Tabaque précédent, modifié comme il vient d^étre dit. La position du transparent, correspondant à l'exemple numérique p = i , 3, N = 620, est indiquée en pointillé.
14. Emploi d'une échelle mobile, — Supposons que, dans le mouvement qui vient d'être décrit, le transparent entraîne Taxe Ox, On voit alors que l'on devra l'arrêter dans une position telle que le point 'de l'axe Ox coté ai se trouve sur la courbe C Cela suggère l'idée de cette autre disposition de l'abaque :
On ne laisse subsister sur le tableau que l'axe O^, avec sa gra- duation, et la courbe C, et on le complète par un transparent por- tant deux axes, l'un O'y', non gradué, destiné à diriger les mou- vements du transparent en glissant le long de Oy, l'autre, O'x', perpendiculaire au premier, portant la graduation (ai) précédem- ment marquée sur O^.
Fig. i5.
Y
1000
900--
' ' I ' ' M Ix'
(N) 600 -JJ-
Le mode d'emploi de l'abaque est alors le suivant :
On fait glisser le transparent en maintenant O'y en coin-
ÉQUATIONS A DBDI 1
cidence avec Oy jusqu'à ce que le point a, de l'axe O'x' se
trouve sur la courbe C. La cote du point de Oy avec lequel coïncide O' est alors égale à a,.
(N)
|
■oo- |
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= |
= |
i |
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E |
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i |
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14- |
(f)
Onpoarrait évidemment rendre mobile l'axe O^aii lieu de Ox. \Afig. 13 montre ce que devient, avec cette nouvelle disposi-
3o CRAPITHB t.
lion, l'abaque de X^fig. i4- H ne f^ul pas perdre de vue, en exa- minant celle figure, que l'axe O'x' est lié à un axe O'y qu'on peut faire glisser le long de Oy.
i5. Anamorphose. — Nous avons supposé les variables «i et aj représentées respectivement sur les axes Ox et O^ par
des échelles régulières. C'est évidemment ce qui est le plus simple; mais on peut, dans certains cas particuliers, être amené à adopter d'autres échelles. Il n'y aurait alors rien à changer à ce qui précède ; on aurait encore recours à la courbe lieu du point de rencontre des perpendiculaires aux axes Ox et Oy-, élevées par
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 3l
les points cotés ai et 7.2', seulement cette courbe ne serait pas la même que dans le cas précédent.
On peut, en particulier, toujours substituer une droite à la courbe qui serait construite au moyen de deux échelles régulières, en transformant convenablement une de ces échelles.
Soit, par exemple (Jlg' 16), OP la courbe obtenue avec des échelles régulières portées sur Ox et Oy, Les points A| et A2 respectivement cotés ai et a2 correspondent au point M de la courbe OP. Pour substituer à la courbe OMP la droite OM'P, choisie d'ailleurs au hasard, il suffit de modifier l'échelle portée sur O^ en plaçant la cote ai, d'abord inscrite à côté du point A|, à côté du point A, obtenu en prolongeant la perpendiculaire A2M à O^ jusqu'en son point de rencontre M' avec la droite OP et abaissant du point P la perpendiculaire M'A', sur Ox.
Celte transformation, qui substitue la droite OM'P à la courbe OMP- est ce que Lalanne a api)elé une anamorphose géomé- irique, ainsi qu'on le verra plus loin (n** 24).
Appliquée à l'abaque de lajig. i3 l'anamorphose donne celui dela/^. 17.
Voici un autre exemple emprunté à la Pratique du calcul des planchers du capitaine du Génie Grisou (*) :
Cet abaque, reproduit par là /ig, 18, fait connaître la valeur de
q = p^
en fonction de celle de p^ pour p variant de 5oo à 2000.
(') Brochure autographiée à l'École du Génie de Grenoble (1891). L'abaque du capitaine Grison s'étend en réalité de /? = 5u à /? = 2000.
3a CHAPITRE II.
CHAPITRE IL
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES
A ENTRECROISEMENT.
I. — Abaques cartésiens. Anamorphose.
16. Abaques cartésiens à trois variables. — Soit à construire un diagramme coté pour l'équation
(i) F(a,,a,,a3)=o.
L'idée qui se présente tout d'abord à l'esprit est celle-ci ; don- nons à l'une des variables, de préférence à celle qui sera le plus généralement calculée en fonction des deux autres (*), ai, par exemple^ une valeur déterminée. Nous aurons alors une équation entre les deux variables a^ et a2 que nous pourrons représenter, ainsi que cela a été indiqué au n^' 12, au moyeu d'une courbe tracée sur le quadrillage défini par les équations
(ai) ar^/ja,,
/i et I2 étant des modules choisis en vue de la meilleure disposi- tion.
L'équation de cette courbe sera
( ' ) Bien qu'un abaque à irois variables permette, en général, indifTéremment le calcul d'une des variables en fonction des deux autres, il convient, principale- ment pour la limitation du diagramme, de distinguer celles que l'on a le plus habituellement à considérer comme indépendantes. Dans la pratique ce choix n*est pas douteux, attendu que, dans la plupart des formules représentées, c'est toujours la même variable qui est prise pour inconnue.
fiQDATIORS A TROIS VAUABLES. ABAQDES A ENTBECBOISKnEKT. 33
Cette courbe le long de laquelle l'élément ccj conserve une même valeur a été dite par Lalanoe une courbe d'égal clément, puis par l'auteur allemand Vogler une courbe isoplèlhe (Ï30<;, égal; raTktjOsç, quantité). Ce dernier terme a été depuis lors adopté par Lalanne. Nous dirons tout simplement une courbe cotée.
CoDstruisons de même les courbes répondant à une série de va- leurs de ïj, croissant par échelons réguliers, en aj'ant soin d'i'n- scrire à côté de chacune d'elles la valeur de «g correspondante.
Remarquons d'ailleurs qu'il sufGra de tracer la portion de chaque courbe comprise à l'intérieur du rectangle formé par les perpendiculaires élevées respectivement à Ox et à Oy par les points correspondant aux valeurs limites ai et 6, de ce,, fc-, et i, de «j, qui sont des données de la question, puisque nous avons supposé que et, et 0.3 étaient les variables indépendantes.
Nous obtenons donc, à l'intérieur d'un rectangle quadrillé (_fig- 19)1 un s;ystème de courbes cotées qui nous fournît la re-
Fig. 19.
présentation demandée dans les limites admises pour tes variables indépendantes. Ce rectangle quadrillé figurant une sorte de damier (en grec, Sia^), on a donné à ce genre de diagrammes le nom d'abaques qui, par voie d'extension, a fini par désigner toute espèce de diagramme coté.
Faisant une fois pour toutes la convention de désigner par les
termes d'horizontale et de verticale les parallèles respectives à
Ox et à O^, nous pourrons énoncer le mode d'emploi d'un tel
M. D'O. 3
34 CHAPITRE II.
abaque, en vue d'obtenir la valeur de aj lorsqu'on s'est donné a, et a2, de la manière suivante : lire la cote aj de la courbe pas- sant par le point de rencontre de la verticale cotée t.^ et de V horizontale cotée ol^*
Par exemple, sur la fig. 19, pour ai = 2, a2=5, on aaj=: 4«
Il va sans dire que cette lecture suppose, le cas échéant, le secours d'une interpolation à vue. Par exemple, sur la fig. 19, pour tti = 4 > 5, tta = 2,5, on lirait aj = 3,5.
Nous avons admis que l'équation considérée servait de préfé- rence à calculer as en fonction de ai et aj, mais on voit immé- diatement que l'abaque permet tout aussi bien d'obtenir ol^ ou 0L2 lorsque l'autre de ces deux variables est donnée ainsi que as.
Par exemple, aj et as étant données, on aura ai en lisant la cote de la verticale passant par le point de rencontre de l* ho- rizontale cotée 0L2 et de la courbe cotée a|.
Les abaques ainsi constitués, dérivant directement de l'appli- cation des coordonnées cartésiennes, sont dits abaques cartésiens. Terquem a remarque qu'ils peuvent être considérés comme four- nissant la représentation par courbes de niveau de la surface dé- finie par l'équation (i) où a,, aa et as sont prises pour des coor- données cartésiennes de l'espace.
Remarque. — Les courbes (as) ont une enveloppe dont l'équa- tion s'obtient, comme on sait, en éliminant as entre l'équation (as) et sa dérivée par rapport a as
ijivi'^)^''-
Mais le tracé de cette enveloppe ne sera généralement d'aucune utilité. Elle peut d'ailleurs être complètement extérieure à la partie utile de l'abaque, limitée à l'aire d'un rectangle, ainsi qu'on vient de le voir.
17. Rattachement aux abaques à échelles accolées, — A simple titre de curiosité, nous ferons remarquer que le principe de la représentation des équations à trois variables, obtenu ci-dessus par la voie la plus natu- relle, peut également se dégager du mode de représentation des équations à deux variables, exposé au n* 9, lorsqu'on tient compte de la remarque qui termine ce numéro.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 35
Donnant à «i dans l'équation (i) du numéro précédent une valeur par- ticulière aj, nous avons à représenter une équation entre les deux va- riables as et «3
(0 F(aî,a,,a3) = o.
Pour cela, portons respectivement, sur Taxe Oy et sur la parallèle à cet axe dont Tabscisse est
(2) X = li(Z\,
les graduations (aj) et («3) définies par et
(4) r = <p(a3,«î),
cette dernière équation étant celle qu'on obtient en explicitant par rapport à^ l'équation
(4') F (a?, ^, a,)=o.
lorsque nous donnerons à a^ d'autres valeurs, la graduation de Oy ne variera pas et nous aurons de nouvelles graduations sur d'autres verti- cales, en vertu des équations (2) et (4).
Nous pourrons joindre par une courbe tous les points qui, sur ces ver- ticales, correspondent à une même valeur de as, valeur qui servira de cote à cette courbe.
L'équation d'une telle courbe s'obtient par l'élimination de af entre (2) et (4) ou, ce qui revient au même, entre (2) et (4')« Elle est donc
On voit qu'on retrouve bien ainsi les courbes précédentes.
18. Emploi d'un transparent ou d^une échelle mobile, — On pourra ici encore recourir à l'emploi d'un transparent tel qu'il a été décrit au n^ 13.
Le mode d'emploi de l'abaque sera alors le suivant {Jig^ 20):
Le transparent étant orienté, faire passer ses index I| et I2 respectivement par les points cotés ai et 0L2 sur Ox et Oy; la cote de la courbe sur laquelle se trouve alors le centre du transparent fait connaître aj.
6 CHAPITRE II.
Par exemple, sur la fig. 20, pour Ki = 10, «] =:^ 8, on a a, ^ 5. On pourra aussi, comme cela a été indiqué au n" 14, rendre mo-
Fig. M.
Iiile l'un des axes Ox ou O/, le second par exemple. Dans ce cas, le mode d'emploi devient le suivant (^fig. a 1) :
On amène l'origine O' de Vaxe mobile O' y au point a, de l'axeOx. Le point oij de l'axe O' y tombe alors sur une courbe dont la cote/ait connaître «3.
Sur la Jig. 21, pour a, ^= 10, 13^ 4i on a a^^ 3.
19. Exemples. — Les exemples d'application de cette méthode sont extrêmement nombreux. Ils comprennent notamment tous les tableaux graphiques construits depuis les premiers essais de Pouchet jusqu'aux trat'aux de Lalaone, dont quelques-uns ont été cités dans l'Introduction.
IQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A BHTRECROISBIENT. 3j
Nous signalerons simplemeni ici le tableau de niultiplication de Pouchel, parce que c'esi le premier en dale de lous les abaques connus.
Premier type d'abaque de multiplication. — La muliiplicatïon se traduit par l'équaiioD
Si, pour la représenter, nous portons sur les axes Ox et 0^ les gra- duations
a; = 5'°'°a, et _^ = 5-"a,,
nous obtenons pour les courbes cotées (a,) les hyperboles équilatéres icj-— 25a, = 0. C'est ainsi qu'a été obtenue la ^g. ii, qui ne doit être considérée que
Fig. M.
comme un schéma de l'abaque de Pouchet, construit avec une bien pi" grande précision.
Il est essentiel de remarquer que la méthode s'applique sans nulle difîi- cnlié lorsque les trois variables sont liées par une loi qui n'est connue qu'empiriquement. En effet, a chaque couple de valeurs de deux des va- riables X) ^t ''il prises comme indépendantes, correspond le sommet du qua- drillage situé au croisement de la verticale (ai) et de l'horizontale (a,). Supposons que nous inscrivions en ce point la valeur correspondante de aj. Nous n'aurons plus ensuite qu'à joindre, par une ligne continue, tous les points répondant à une même valeur de a, pour avoir la courbe cotée (ii), de même qu'en unissant sur un plan topographique les points de même cote par un trait continu on obtient ses courbes de niveau.
;
38 CHAPITRE II.
Les applications de celte méthode sont très fréquentes. On trouvera quelques détails, à ce sujet, dans le Calcul graphique de Favaro (tra- duction Terrier, p. i54 et suiv.) et dans Timportant Ouvrage que M. Marey a consacré à la Méthode graphique dans les Sciences expérimentales (I™ Partie, Chap. V).
20. Superposition des graduations, — Supposons qu'une équation entre les trois variables ai, aj, «3 soit telle que, si Ton a
F(a,,aj,a3)=o,
on ait aussi, quelle que soit la solution (ai, a^, aj),
F(/i(aO,/î(aO./3(a3)) = o,
fif f\ et /s étant des fonctions connues.
Dans ces conditions, l'abaque, construit entre certaines limites, per- mettra de résoudre encore Téquation proposée pour des valeurs prises en dehors de ces limites.
Supposons, en effet, que Tabaque ait été construit avec les limites ai et h\ pour ai, aj et hx pour aj, a^ et 63 pour as. A côté de chaque valeur de ai, S] et as comprise entre ces limites, nous pourrons inscrire respecti- vement la valeur de/i(ai), de/j(aj) et de /a (03), en doublant ainsi cha- cune des lignes de graduation. Dès lors, si nous prenons pour «i et a^ des valeurs respectivement comprises entre /i(ai) et/i(6i), et entre /j(ai) et/j(6î), nous voyons que Tabaque nous fournira la valeur correspon- dante de as, à la condition que nous fassions usage, pour les éléments, droites et courbes, qui le constituent, des cotes inscrites dans les secondes lignes de graduation.
Il suffît que les limites primitives soient telles que les amplitudes de va- riation s'étendant de a\ à h\ et de/i(ai) à f\{bx) d'une part, de 0% et ôj, et de/î(aj) k f%{hi) de l'autre, aient une partie commune pour qu'il n'y ait pas de lacune dans le champ de variation auquel l'abaque est appli- cable.
C'est en cela que consiste le principe de la superposition des gradua- tions.
Après avoir construit l'abaque, on peut, sans rien changer aux droites et aux courbes tracées, superposer aux graduations primitives de nouvelles graduations s'en déduisant suivant des lois connues et fournissant encore des solutions de la même équation.
Il pourra arriver que les fonctions /i(ai), /i(ai), /3(aî)» ou certaines d'entre elles, soient assez simples pour que le calcul de leur valeur se fasse immédiatement de tête. Ce sera le cas, par exemple, si /i (ai) se réduit au produit de si par un facteur simple comme 2, 5, 10 ou une puissance de 10. Lorsque cette circonstance se produira, il sera évi- demment inutile d'inscrire sur l'abaque la seconde graduation qu'une opération mentale permettra de déduire immédiatement de la première.
ÉQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 3q
A ce point de vue, les cas particuliers qui suivent méritent une attention spéciale. Ils se rencontrent d'ailleurs assez fréquemment dans la pratique.
21. Multiplicateurs correspondants. — i° Il arrivera que, si Ton mul- tiplie deux des variables ai et as par des facteurs quelconques Xf et Xj, la nouvelle valeur a, de la troisième variable pourra se déduire de sa valeur a^ correspondant à ai et a^.
Cela aura lieu lorsque l'on aura
(I) aj=A(aï'a;«),
A étant une fonction quelconque, /ii et n^ des constantes quelconques. On voit, en effet, que Ton a dans ce cas, en représentant par V la fonction inverse de A,
(-2) ai=A(Xî'X;«V(a,)).
Le cas le plus simple est celui où l'on a (i bis) a,= A:aî'a;«,
parce qu'alors (2) devient (2bù) a'3 = Xî«X;«a,.
Autrement dit, si le système de valeurs (ai, a», as) satisfait à l'équa- tion (i bis)^ il en est de même du système (Xiai, Xjaj, Xî'Xï'aa).
On peut alors dire que X|, Xj et X"'Xî* constituent des multiplicateurs correspondants pour les variables ai, aj et as.
En prenant pour Xi et Xj des valeurs simples, telles que 10 et ses puis- sances par exemple, on voit que les nouvelles valeurs de ai, aj, aj se déduiront de celles inscrites sur l'abaque, par une simple opération men- tale, sans difficulté aucune.
2*" Supposons maintenant que les facteurs par lesquels on multiplie a] et as, au lieu d'être indépendants l'un de l'autre soient X et X'», m étant une constante.
La circonstance indiquée se présentera dans ce cas lorsqu'on aura
A et /étant des fonctions quelconques. On voit, en effet, que, dans ce cas, (4) a',= A(XV(«,)).
L'équation (3) pourra encore s'écrire (3') a,= A(a?/(afaî)),
|
ko |
CHAPITRE II. |
|
\% nombre m étant alors |
|
|
P rn — — — • 9 |
Dans ce cas (i), on aura (4') a', = A(X«V(a,)).
Si, par exemple, l'équation est de la forme
(5) ^«jaî'H- Ajaaaî'-Hi = o, elle peut s'écrire
a, = — -^(/i,a,aî«-f-i)
et rentre bien ainsi dans le type (3'). Alors
/M = — 11%,
et la formule (4') donne
Autrement dit, si le système (aj, aj, as) satisfait à V équation (5), il en est de même du système (Xai, X-'»«aî, X-^jaa).
C'est-à-dire que, dans ce cas, les variables ai, a^ e/ aj admettent les multiplicateurs correspondants X, X-»», X-»» (*). '
Considérons en second lieu l'équation
(6) a,= (Aafaî)aP.
Pour voir qu'elle rentre dans le type (3'), il suffit de l'écrire
a3=e«"'<>»<^«î*^.
On a dès lors
9
(*) Il ne faudrait pas croire que sous cette forme l'équation fût plus générale que sous la précédente. II suffit, en effet, de poser
pour qu'elle devienne
(^} Dans ce cas, le principe des multiplicateurs correspondants se trouve appliqué dans notre brochure de 1891 (p. 91). Il a été exposé sous forme géomé- trique par M. A. Chancel dans une étude dont il sera question plus loin (n« 118, 2").
tQUATIONS ▲ TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ^l
et la formule (4') devient
ai = «i
Par suite, lorsque le système («i, «j, «3) satisfait à V équa- tion (6), il en est de même du système \Xai, X *7ai, «3 /.
C*est par Texamen de divers cas particuliers que nous avons été conduit aux types (1) et (3).
M. G. Kœnigs, à qui nous avions soumis la question, a démontré qu'ils sont les plus généraux correspondant à la propriété caractéristique de chacun d'eux. On trouvera plus loin sa démonstration (n**155).
22. Abaques à lignes droites, — Parmi les abaques qui viennent d'être définis, il convient de distinguer ceux sur lesquels les courbes (as) se réduisent à des droites; de tels abaques se ren- contrent fréquemment dans la pratique.
Si nous nous reportons au n** 16, nous voyons que, pour que cette circonstance se présente, il faut que l'équation (as) soit de la forme
i\ Il
= o.
cl, par suite, Péquation (i)
«1 /(«a) -H «2 ?(a3) -+- ^(«3) = o.
Dans ce cas, il pourra être plus intéressant que dans le cas gé- néral de considérer l'enveloppe E des courbes (as) qui sont ici des droites. Si, en effet, la portion utile de cette enveloppe se trouve dans les limites de l'abaque, elle pourra dispenser du tracé des droites («3). H suffira d'inscrire la cote de chacune de ces droites à côté de son point de contact avec la courbe E.
Étant données des valeurs pour ai et a2, pour avoir la valeur correspondante de ol^ il suffira de mener par le point de rencontre des axes du quadrillage cotés ai et ol^ ^^^ tangente à la courbe E (ce qui se fera très aisément au moyen d'un index rectiligne marqué sur un transparent) et de lire la cote du point de contact de cette tangente. On pourra évidemment, le cas échéant, avoir ainsi plusieurs solutions, lorsque du point de rencontre des droites cotées ai et 0.2 il sera possible de mener plusieurs tangentes à la courbe E.
CBAPine II.
23. Exemples: i" Second type d'abaque de multiplication. — L'équi tion de la multiplication étant écrite
it suflît (]e constituer le quadrillage au moyen des droites (a,) x = l,a„
pour que les courbes cotées (a^) soient des droites issues de l'origine
En prenant /i = 5°"", /i = o"",5, on obtient ainsi l'abaque de la
M- 23 (')■
Fig. ï3.
Il va sans dire qu'ici s'applique le principe des multiplicateurs corres- pondants, l'équation étant la plus simple du type du n° îl, i". Les multi- plicateurs correspondants pour a,, Hx et «j sont respectivement X|, Xj et
x,x..
(') Le triangle à calcul de M. P. Chcnevier, qui ligure dans les galeries du Conserva toire des Arts et Métiers, n'est autre qu'une forme particulière de cet abaque, dans laquelle, au lieu de tracer un certain nombre des droites (s^) issues de l'origine, on a fl^ié en cette origine un lil que l'on peut tendre pour te taire passer par les points d'une graduation placée sur un bord du cadre et repérant les positions des droites (a,) non tracées.
BQDATIOng A TBOIS VÀBIABLBB. ABtQUBS A ENTHECKOIBEHEHT. 43
Od obtient une meilleure disposition de l'abaque {fig. 33 hW) en pre- nant des axes de coordonnées non plus rectangulaires, mais faisant eotre eux un angle égal à — ■ Noua devons celte remarque à l'obligeance de M. Prochot, ancien conservateur des Forêts (').
a" Abaque de Lalanne pour l'équation trinôme du troisième degré. — Soit l'équation
Cboisissant un module / quelconque, nous pouvons construire l'abaque de cette équation en prenant
x = lp, jr = Iq, ce qui nous donne pour i les droites
L'abaque ainsi obtenu (_fie: aj) est celui qui a été construit par La- Noas avons d'ailleurs fait remarquer(') qu'on pouvait se borner à tracer
( ' ) C'est en 189a, an Congrès de l'A*tocialion française pour l'Avancement de* Seiencet, qui se tenait  Pau, que M. Frocbot nous a communiqué son ■baque. Il l'avait, croyons-noua nom rappeler, publié dan» un Ouvrage, mais ooDS manquons sur ce point d'indicalioD précise.
<') Mémoire sur les Tables graphiques {A. P. C, 1" semestre, iS^C).
<') 0.4, p. î5.
44 CHIPITRE II.
les droites correspondant aux valeurs positives de z, les valeurs absolues des racines négatives de l'équation étant obtenues comme racines posi- tives de la transformée en —s, c'est-à-dire de l'équation qui se déduit de la précédente par simple changement de 7 en — q.
Fig. A-
|
l P\K |
|
\NiV\ |
|
. v^\ |
|
^ ^tv^ |
|
1 '\l /^^l |
|
. j Y'v\ ' |
|
.\ K ^^^^ |
|
\i i\ \ \\-^ |
|
\ 1-^ i \- C>^ , ~ |
|
\\^ ^ X ^sL |
|
• -tic vx s |
|
± 5 \ N^ S^ |
|
4\ ' S ^t |
|
K\ \ \ ^ V ^ t \ |
IttitlU .Ho p
Cet artifice peut être considéré comme dérivant du principe des multi- plicateurs correspondants (n° 21). L'équation donnée peut, en ciïet, s'écrire
Sous celte forme, elle rentre évidemment dans le type (5) du n" 2i, et l'on voit ainsi que, pour les variables q, p, f , on a, en faisant X = — 1, les multiplicateurs correspondants ( — 1)', ( — i)', —1, ou — 1, i et — r. C'est bien là la remarque qui vient d'être faite au sujet des racines néga- tives.
Mais, plus généralement, on peut dire que les variables q, p, s ad- mettent les multiplicateurs correspondants n', n' et it. Pour montrer l'utilité de cette remarque, nous prendrons l'exemple suivant :
Si l'on représente par
: la hauteur en mètres sur laquelle le parc peut être maintenu vertical à partir du cou
ÉQUATIONS A TROIS TARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ^0
X le rapport de la pression limite admissible par mètre carré au poids
de i"* de maçonnerie; 6 le rapport du poids de 1°"' d'eau à celui de 1™* de maçonnerie,
M. Delocre a fait voir, dans son Mémoire classique sur les grands bar- rages, que la hauteur z est donnée (i) par la racine positive de l'équation
ou
5«-f-
«
|
0 - |
si |
a« X» |
|
|
ox " |
3a» 0 =*» |
si |
a» ^ X» 0 < .r |
|
a = 10", |
X = 20", |
2 |
Posons
Ici,
a^ X«
Y = 200, -- = 100,
et c'est la première équation qui est applicable. Cette équation devient
-5* H- 200.5 — 4000 = o.
L'abaque de la Jig, 24 ne nous donne pas directement z. Ayons dès lors recours aux. multiplicateurs ci-dessus définis en prenant n = 10. II vient ainsi
— ) -\- 1— 4=0,
10/ 10
et l'abaque donne
doù
— = iM8, 10
z rriir^S.
3" Abaque du poids de la vapeur d^eau contenue dans Vair ('). Si p est le poids en grammes de la vapeur d'eau contenue dans 1"*= d'air à r, lorsque la tension de la vapeur est f en millimètres, on a
810/
7G0 -+- 2,78^
(') Les inégalités de condition, telles qu^cUes sont énoncées ici, se rencontrent pour la première fois, dans une Note publiée par nous, en mars iStji, dans les Annales des Ponts et Chaussées (p. 443)' Par suite d'un lapsus, le sens de toutes les inégalités de cette Note a été renversé, ainsi que nous l'avons fait remarquer depuis dans un erratum.
(') Nous avons construit cet abaque en 1886, pour la Direction de l'Artillerie (le TArsenal de Rochefort, en vue d'observations à faire, plusieurs fois par jour, dans des poudrières qui étaient de son ressort.
46 cbàpitie II.
D'ailleurs la tension / est fournie par les Tables de Regnanlt (*> en fonction de la température de condensation ^ lue sur Thygrométre. L'équation ci-dessus peut s'écrire
76o/> -H 2,78//> — 810/ = o.
Pour la représenter nous poserons, /| et /j étant deux modules quel- conques
a- = /, X 810/,
^=/,X2,78/, ce qui donne pour les droites (/>)
y ^
760/? -H /> 7 — = o.
Faisons, par exemple ('),
/i = o"", oo37, l\ = o"", 43.
Nous obtenons ainsi Tabaque de \di fig, 25. Les graduations de 0 or et de Oy sont alors données par
X = 3-"/ y= i"",2^ et les droites {p) par
py X
760^ -+- -^-^ r- = o.
'^ 0,43 0,0037
Toutes ces droites convergent au point j: = o, ^ = — 326"^, 8. On les appelle des radiantes (n* 27).
(') Jamin, Cours de Physique de V École Polytechnique, t. II (3« édition )
p. 223.
(') Ces nombres ont été choisis pour mettre le texte d'accord avec la fig. aS qui a été obtenue par réduction photographique de l'abaque construit à plus grande échelle en 1886. Sans cela on eût pris
/, = o*", 0037, /j = o"»", 36
de façon à avoir à porter les graduations
X — If, y ~ t.
II pourrait, de prime abord, sembler plus simple de choisir /, et /, de façon à n'avoir à porter que les graduations
X = /, y = t,
mais alors les radiantes (z^) se rapprochant de la direction parallèle à Oy^ leurs points de rencontre avec les verticales (/) se détermineraient avec moins d'exactitude.
Bchelle de la thmpéra
AS CHAPITRE II.
L'échelle de t ou échelle des températures sera construite entre t — — 10° et / = 4o'. Sa longueur sera égale à i^^^^a x 5o = 60""".
Pour construire les droites (p) déterminons les points où elles coupent les horizontales 0° (y = o) et 4o" (^^ = i"",2 x 40 = 48°»").
Pour^ = o, nous avons, en prenant comme unité le millimètre,
X = 760 X o,oo37/> = 2,8i/>; pour ^ = 48
X =: (760 -h -^)o,0037/> =3,22/?.
Construisons ces droites pour des valeurs de/> croissant d'unité en unité de o à 5o.
Les abscisses des deux points déterminant la droite extrême {p =■ 5o) seront, pour t = 0° (y = o) et t = 4o* (y = 48),
a: = 140""°, 5 et ar = 161""°.
Reste à construire l'échelle de la tension/. Celle-ci étant fonction de la température de condensation <', nous pourrons la déterminer par le pro- cédé indiqué au n" 12, c'est-à-dire en traçant la courbe qui fait connaître les variations de /en fonction de ^(traduction graphique de la table de Regnault), les modules le long de Ox et Oy étant précisément les nombres 3™"» et i°"",2 obtenus plus haut. En d'autres termes, on construira la
courbe définie par
X == 3™""/
y=i^«\'it\
les valeurs correspondantes de t' et de / étant celles que donne la table de Regnault.
Cette courbe, que nous désignerons par F, étant tracée, on voit à quoi se réduit le mode d'emploi de l'abaque : lire la cote p de la radiante passant par le point de rencontre de Vhorizontale t et de la verti- cale fj cette dernière coupant la courbe F au même point que l'hori^ zontale t'.
Usant ici d'un artifice (M signalé au n® 13 nous remplacerons le système des verticales par un index mobile tracé sur un transparent dont l'orien- tation sera maintenue par la coïncidence, avec Taxe AB de l'abaque, d'un second index de ce transparent, perpendiculaire au premier.
Dès lors, le mode d'emploi de l'abaque peut s'énoncer ainsi : Vindex d* orientation du transparent étant mis en coïncidence avec AB, faire passer IHndex de lecture par le point de la courbe F situé sur l* hori- zontale t\ suivre cet index jusqu en son point de rencontre avec Vho-
(') C'est précisément à Toccasion de cet abaque que nous avons eu pour la première fois recours à cet artifice.
ÉQUATIONS À TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ^9
rizontale i et lire la cote p de la radiante passant par ce dernier point.
Par exemple, pour t— 30", l' = i6", la position do l'index étant celle indiquée en pointillé sur la figure, on lit/? = 12*', 9. On aurait pu évidem- ment tout aussi bien écrire au pied de chaque verticale la valeur corres- pondante de t' obtenue par l'intermédiaire de la courbe F, et effacer celle-ci.
4* Nous dirons encore un mot des abaques publiés par M. Genailh* sous le titre Les graphiques de Vingénieur^ et nous indiquerons som- mairement leur disposition dans un cas. Si une charge est uniformément répartie sur une poutre de portée a, on a
pa"^-^ q,
q étant un nombre qui dépend de la section de la poutre et de la limite de pression admise par unité de surface (^).
A chaque type de fer du commerce correspond une valeur de q. L'abaque de l'équation précédente, en permettant de calculer çr, défi- nira donc le type de fer à adopter pour des valeurs données de a et de p.
Cet abaque peut être construit au moyen du quadrillage défini par
x=^l\q. y = l\P, ce qui donne pour a les droites cotées dont l'équation est
Ixa^-y - l^x,
droites passant par l'origine. Au lieu d'inscrire la valeur de q au pied de la verticale correspondante, on peut y inscrire les éléments de la section donnant cette valeur de q. Les abaques ainsi obtenus pour les différentes espèces de poutres sont ceux que M. Genaille a fait connaître au Congrès de 1884 de l'Association française pour ravancement des Sciences, et dont des exemplaires à grande échelle figurent dans les galeries du Conserva- toire des Arts et Métiers (*)..
SRI
(') On a ^ = > I étant le momeni d'inertie polaire de la section, n la
distance des fibres qui supportent la plus grande tension, R la limite de pression admise.
{*) Aux exemples qui viennent d'être donnés ci-dessus, et qui pourraient, sans profit d'ailleurs pour le lecteur, être beaucoup multipliés, nous tenons à joindre la mention d'abaques de ce genre, pour le calcul du profil de certains murs de M>olèoement, dans la livraison de septembre 1898 de la Bévue du Génie par \(^ lieutenant Belhague {PLIA!') et le commandant Bertrand {Pt.XI). La très intr- itssante étude du premier de ces officiers sur la construction de la route de Tana- tttrive à Moranianga fait ressortir l'utilité de l'emploi des abaques pour des travaux qui, comme celui-ci, exigent une grande célérité.
M. D'O. \
5o CHAPITRE II.
II. — Anamorphose.
24. Principe. — Nous avons vu au n" IS qu'en substituant aux échelles régulières, qu'il est tout naturel, de prime abord, de porter le long de Ox et de Oy, d'autres échelles fonctionnelles, on peut toujours transformer en une ligne droite la courbe repré- sentative d'une équation liant les variables auxquelles corres- pondent ces deux échelles.
Dans quel cas une telle modification apportée aux deux échelles Oj: et Oy d'un abaque cartésien à trois variables transformera- t-elle à la fois toutes les courbes de cet abaque en lignes droites?
La réponse à cette question est facile.
Pour qu'avec les graduations
les courbes (as) constituant l'abaque soient des droites, il faut et il suffit que leur équation soit de la forme
Ceci aura lieu si l'équation proposée est
/i(ai)/3(a3)-+-/2(a2)?8(aj) -4- 1^3(313) = o.
Nous obtenons ainsi à la fois la forme des équations auxquelles cet artifice est applicable et l'indication de la manière dont cet artifice doit être mis en œuvre.
Dans le cas où il ne s'agit que de la courbe isolée constituant Tabaque d'une équation à deux variables, comme au n® 15, une telle transformation n'offre aucun avantage appréciable, le travail requis pour l'établissement d'une échelle fonctionnelle étant équi- valent à celui qu'exige la détermination des points de la courbe correspondante; on n'économise, somme toute, que le tracé de la courbe réunissant les divers points obtenus individuellement. Il n'en va pas de môme ici, et Tavantage y devient très sensible.
Si le travail exigé par le changement de graduation équivaut à
ÉQUATIONS À TROIS TARIÀBLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 5l
peu près à la construclion d'une courbe, comme on aurait un certain nombre n de celles-ci à tracer, on voit que l'économie réalisée peut-être représentée environ par le travail requis par le tracé de /i — i courbes. Une fois, en effet, le nouveau quadrillage établi, il suffit d'y marquer deux points pour obtenir chacune des lignes droites destinées à remplacer les courbes qu'on aurait eu à construire point par point dans le système primitif, et qui ont, en outre, sur celles-ci l'avantage d'un tracé rigoureux.
Le principe d'une telle transformation a été indiqué, pour la première fois, par Léon Lalanne qui lui a donné le nom à* ana- morphose géométrique (*). C'est sous la forme indiquée au n° 28 qu'il s'est d'abord présenté à lui et cela à propos des applications traitées plus loin aux n°^ 29 (i") et 108.
25. Exemple : abaque de tir, — Dans un travail relatif à une question de tir (>), le capitaine G. Ricci, de l'artillerie italienne, se propose de con- struire Tabaque de l'équation
p(c?cos<p -4- a) = d^ — a',
destinée à faire connaître a lorsque p et 9 sont donnés. Il suffît d'écrire cette équation sous la forme
é/cos© — a = o,
P
pour voir qu'elle rentre dans le type précédent. Nous porterons donc sur les axes les graduations
(?) ^ = j>
et
(?) 7 = ^ïCos<p,
et nous aurons ainsi pour les courbes (a)
âf« — a» d
(«) — -__a-— -^— a = o
c'est-à-dire des droites. Le capitaine Ricci a construit cet abaque pour p, variant entre 1000 et
(') Mémoire sur les Tables graphiques et sur la Géométrie anamorphique (A, P, C, i*' semestre 1846).
(') Rivista di Artiglieria e GeniOy t. IV, p. i65 (novembre 1896). On trouvera dans le Bulletin astronomique^ t. III, p. G.! et '.>32, une série d'intéressantes applications du même principe, dues à M. Hadau.
02 CHAPITRE 11.
8000 (de 100 en 100 entre 1000 et 6000, de 200 en 200 entre 6000 et 8000). pour «p variant entre 0° et 120° (de 2 en 2 entre 10* et 20^*, de i en i entre «o** et 120"), enfin, pour a variant entre — 800 et 5oo, de 10 en 10.
En vue de réduire les dimensions de l'abaque, il Fa fractionné en troi> parties accolées les unes aux autres. Pour chacune de ces trois parties In a été pris égal à o'",2o, tandis que /i varie de Tune à l'autre. Ayant adopté /i= 5oo" pour la partie qui s'étend de 8000 à 3ooo, l'auteur a ré- duit cette valeur de l\ à la moitié, soit à 25o", de 3ooo à 2000 et à son sixième, soit à 83"", 33, de 2000 à 1000. Il en résulte que sur les verticales suivant lesquelles ces trois abaques partiels s'accolent (p = 3ooo et p = 2000) les droites (a) changent de direction.
La fig, 2G donne une réduction de cet abaque.
26. Abaques à parallèles, — Les équations du type signale au n** 24 peuvent revêtir la forme très simple
/i(ai) ^-/2(aî) -H/sCaj) = o,
qui est extrêmement fréquente dans la pratique. Dans ce cas, ayant constitué le quadrillage de Tabaque en élevant respective- ment aux axes O^ et Ojk des perpendiculaires par les points des échelles que définissent les équations
(ai) ^ = ^i/i(ai),
(«î) J^ = ^/i(aî).
on oblienl pour équation des courbes cotées (aj)
7- H- f ^-/3(aj)=o,
qui représente un système de droites parallèles.
Le coefficient angulaire de ces droites étant constant et égal à
— ^-> il suffira, après avoir déterminé la direction correspondante
qui s^obtient en joignant le point de Taxe Ox d'abscisse /| au point de l'axe Oy d'ordonnée /a, de déterminer un point pour cha- cune de ces droites. On pourra prendre notamment leurs points de rencontre avec Taxe Ox^ définis par
X =— /i/j(a3).
On pourra aussi prendre leurs points de rencontre avec la per- pendiculaire Os à leur direction menée par l'origine O, droite • dont l'équation est
54 CHAPITBB II.
Si nous représentons par z les segments comptés sur cette droite à partir de O, nous voyons que le z de la droite (aj) qui n'est autre que la distance de l'origiDe à cette ^droite est donné par
En résumé, ayant gradué les axes Ox, Oy et Oz d'après les trois équations ((X|), (a^) et (k,) ci-dessus, on n'a qu'à élever à chacun de ces axes des perpendiculaires parles points de l'échelle qu'il porte pour obtenir l'abaque de l'équation considérée.
Exemple : Nous rencontrerons par la suite un d'équations <le cette forme. Contentons -nous ici exemple la formule des miroirs et lentilles spKériqui
très grand nombre de prendre comme
où d et d' sont les distances du miroir jugués, y la distance focale principale.
u de la lentille à deux points c
|
\ |
Fig. . |
|||
|
\ |
\ |
|||
|
\ |
' |
\ |
\ |
|
|
X' |
I |
\ |
\ |
5 T |
D'après ce qui précède o
abaque de cette formule, en posant
/ étant un module quelconque, ce qui donne pour lignes cotées (/) les droites
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 55
immédiatement obtenues en joignant les points dont les cotes sont égales à /dans les graduations de O a: et de Oy. En prenant / = 3", 5, on a ainsi la yig, 27 ( * ).
27. Abaques à radiantes. — Une autre forme d'équation très fréquenle, rentrant dans le type du n** 24, est la suivante :
/i(«i)/ï(aî)=/3(a3)-
On voit qu'on aura la représentation anamorphosée de celte équation en graduant les axes Ox cl Oy suivant les lois
ce qui donne pour courbes cotées (a2)
/, («î) J = 7-/2^311)^,
droites issues de Torigine, que l'on appelle des radiantes {j^).
Ces droites passant par l'origine, il suffit d'obtenir un point de chacune d'elles. Si, par exemple, on les coupe par la parallèle à O^, dont /| est l'abscisse à l'origine, savoir
on voit que l'on obtient sur cette droile l'échelle définie par l'é- quation
Nous avons rencontré plus haut (n" 23, 1", 3"* et 4") divers exemples d'abaques à radiantes sans anamorphose.
(') Cet abaque a été construit par M. Garicl ( A. F. A. S., Congrès de Cler- moat-Feirand, p. i4o; 1876), qui lui a ensuite appliqué une ingénieuse transfor- mation géométrique. Nous avons fait voir dans notre brochure 0.4 (p. 88) com- ment l'application directe de la méthode des points alignés, dont il sera question plus loin (Cbap. III), conduisait à cet abaque transformé.
(^) On peut substituer au système de ces radiantes une droite pivotant autour du point O. Il suffit, pour cela, d'inscrire le long d'une ligne quelconque les cotes des points où les droites (a,) supposées tracées rencontreraient cette ligne. On obtient ainsi une certaine échelle, rectiligne ou curviligne, qui permet de repérer la position de la droite pivotante pour chaque valeur de a,. Une telle disposition sera même avantageuse au point de vue de la précision de l'interpolation à vue.
■•"' CHIPITIIR II.
Voici des exemples de tels abaques obtenus par acainorphose :
I" Troisième type d'abaque de multiplication. — Od peut, pour représenter l'équalion
i:e qui lionne comme eourbes colces {a,) les radiantes
t,T - li^iy.
\a lel abaque est représenté par la /(>. aN. Il se rencontre parmi les Ta-
Kig. -x».
|
[— |
p |
/ / / |
[7 |
r/ |
||||
|
1 |
/ |
/ '' ' ' |
■/ |
/ |
-11 |
|||
|
t |
h |
^ |
M'- |
r-^ |
-' |
;! |
||
|
1 |
$ |
1 |
w- |
^ |
bleau\ {(rapliiques dressés par M. l'ingénieur des Ponts et Chaussées Crépin, un vue de l'étude du dessècliement des pajis watringués, dans un Mémoire remarquable où, pour la première fois, cette question complexe est sou~ ■lise au calcul (').
%" Abaque des heures de lever et de coucher du soleil. — Si l'on représente par X la latitude du lieu et par D la déclinaison du soleil eor- lespondant à l'époque, l'angle horaire M du soleil ou de son coucher est donné par l'équation
— rOS^ = ti
X.tangD,
f
ù'
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ^j
t|ui rentre dans le type ci-dessus. Nous prendrons donc, pour représenter
ar— /,tangX, j^-— /, cos^l.
rette équation, d'où
y ^ /jrtangD. '1
Si l'on prend l\ •= /j, on voit que la droite cotée (D) est la droite menée par l'origine, qui fait l'angle D avec l'axe des x.
Chaque horizontale M correspond à deux cotes égales et de signes con- traires. Mais on peut immédiatement écrire les valeurs de ces angles horaires en temps, ce qui donne l'heure vraie du lever ou du coucher.
Si Ton inscrit ces cotes aux points de rencontre des horizontales (iH) et
Fig. 29.
yi*^-^
d^un cercle de rayon /j, ayant «on centre en un point quelconque de l'axe des X, on obtient la Ji^, 29, qui est une réduction de l'abaque construit par M. Collignon (>).
On voit que l'horizontale, passant par le point de rencontre de la verti- cale dont la cote est la latitude X du lieu et de la radiante dont la cote est la déclinaison D du soleil pour l'époque, va couper le cercle horaire
(') L'abaque de M. Collignon est complété par des tracés psrniettant de passer da temps vrai au temps moyen et de tenir compte de la durée du crépuscule {\. A., '1* série, t. XVIII, p. 179, et 3* série, t. I, p. 49^)-
58 CHAPITRE II.
en deux points dont les cotes sont les heures de lever et de coucher du soleil.
Au lieu de coter les radiantes au moyen des valeurs de D, on pourrait inscrire immédiatement à côré de chacune d'elles l'indication de l'époque correspondante, ainsi qu'on l'a fait sur \di Jig, 29 pour les solstices et les équinoxes.
3° Abaque des débits d^une rivière. — Le débit d'une rivière en un point déterminé est donné par la formule
^ = (I) a,
où q désigne le débit exprimé en mètres cubes par seconde, (1) l'aire de la section exprimée en mètres carrés, u la vitesse moyenne exprimée en mètres par seconde.
Pour la section considérée, l'aire a> est une fonction /(A) connue de la hauteur d'eau h lue sur une échelle plongeant dans la rivière. On peut donc écrire
(1) q=u/(h).
D'autre part, lorsqu'il ne s'agit que d'une détermination approximative, on peut prendre pour la vitesse moyenne u le produit par 0,8 de la vitesse à la surface donnée par un flotteur parcourant pendant t secondes une longueur connue e, comprise entre deux repères, en sorte que
(a) 0,8 e = ut.
L'équation (i) peut être représentée au moyen des éléments cotés
(m) X = liU^
(9) y=^Uq,
(h) y=Yj'^h)x,
et l'équation (2), ainsi que cela a été expliqué au n^ iS, au moyen de la courbe
TV
qui est une hyperbole équilatère G, dessinée sur le quadrillage défini par
37 = /j a, y = /j t.
Nous pouvons faire coïncider l'axe des x de ce quadrillage avec celui de l'abaque précédent, son axe des y étant dans le prolongement de l'autre et en sens contraire.
Pour construire les droites cotées (/t), il suffit de remarquer, ainsi qu'on l'a fait au début de ce numéro, que, sur la droite x = l\, ces droites déter- minent l'échelle
y = hf{h).
tQDATlOItS A TROIS VIRIABLRS. ABAQUES A ENTRECROISEUE.M. 5^
L'abaque ainsi obienu ( fig. 3o) est celui qui a été établi par
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H. Vandervin, iogÉDieur au corps belge des Ponts cl Chaussées, pour
6o CHAPITRE II.
la stalion de Hombeek , sur la Senne (*), où l'on avait e = loo". I/abaque de M. Vandervin a été construit avec les modules
/, = o™,i, /,= o'",oo?., /', = o"*,ooo5.
La Jlg, 3o en est la réduction aux '.
Le mode d'emploi de cet abaque est le suivant : La verticale pas- sant par le point de rencontre de ^horizontale (t) et de r hyperbole G coupe la radiante (h) en un point situé sur Vhorizontale (q) (*).
Par exemple, le aS janvier 1891, à Hombeek, le flotteur a parcouru la distance des repères en ^ = 92', la hauteur d'eau étant de 12", 04. La ver- ticale passant par le point de rencontre de l'horizontale / = 92' et de l'hyperbole G coupe la radiante 12™, oî en un point dont l'horizontale suivie jusqu'à l'échelle des débits donne q = 38™*, 5.
4" Abaques des poutres chargées. — Le commandant Ghéry (depuis lors général) a, dans sa Pratique de la résistance des matériaux ('), «lonné une série d'abaques pour le calcul des poutres chargées, traduisant pour les diverses sections usuelles l'équation
pa^T^q
déjà définie au n° 23 (4**). Pour construire ces abaques, il a eu recours au quadrillage anamorphose défini par les équations
^ = iip, y = ^t'
d'où résulte pour les éléments cotés (q) l'équation
liX = l^qy,
qui définit des radiantes issues de Torigine. Au lieu d'inscrire à côté de chacune de ces radiantes la valeur correspondante de q, le commandant Ghéry y a placé une lettre de référence renvoyant à une table placée en regard de l'abaque où se lisent les dimensions de la section donnant cette valeur de q.
On trouvera, dans la partie du Ghapitre IV consacrée au calcul des pro-
(') Annales des Travaux Publics de Belgique, 1892. Dans le même Mémoire, M. Vandervin construit un abaque de même type pour le calcul des moments d'inertie des rectangles.
On en trouve un autre pour le calcul des sections résistantes des travées droites dans une étude de M. D. Gorrieri {Atti del Collegio degli Ingegneri ed Architetti in Bologna, 1895).
(') On pourrait, à côté de chaque verticale, écrire la valeur correspondante de t obtenue par Tintermédiaire de l'hyperbole C, ce qui reviendrait à faire une anamorphose le long de Ox.
(^) Paris, Ducher et €'•; 1877.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUKS A ENTRECROISEMENT. 6l
fils de remblai et de déblai, d'autres exemples d'abaques à radiantes {fig» ii6 à 122).
28. Anamorphose logarithmique . — Toute équation repré- sen table par un abaque à radiantes est également susceptible d'être représentée par un abaque à parallèles.
Le type d'équation du n" 27 peut, en eflcl, s'écrire, lorsqu'on prend les logarithmes des deux membres,
Il rentre alors dans le type du n" 26, représentablc par un système de droites parallèles tracées sur un quadrillage irrégulier.
On appréciera par la suite tous les avantages de cet ingénieux artifice, dû à Léon Lalanne, et qui a constitué la première formir sous laquelle s'est présenté à lui le principe de l'anamorphose.
Pour effectuer la représentation de l'équation ci-dessus confor- mément à la méthode indiquée au n^ 2i, on commencera par tracer le quadrillage formé par les perpendiculaires élevées respec- tivement à Ox et à Oy par les points de division des échelles définies sur ces axes par les équations
(ai) ^=^ 'ilog/i(a, ),
^«î) y- ^log/!(aj).
On n'aura plus ensuite qu'à construire les droites
ce qui peut se faire, ainsi qu'on l'a vu au n^ 26, en graduant la perpendiculaire O3 à la direction de ces droites suivant la loi
(o, bu) ' ~
Àé —
s/l\ -f- Il
La construction des échelles logarithmiques (a, ), (aj) et (as bis) n'offre d'ailleurs pas plus de difficulté que celle des échelles des foDCtions /i , /a et /a lorsqu'on dispose d'un étalon logarithmique ainsi qu'on l'a fait observer au n" 6.
Au surplus, on trouve maintenant dans le commerce du papier
02 CHAPITRE II.
à quadrillage logarithmique (*), grâce auquel la construction d'un abaque de ce genre se fait avec la même facilité que celle d'un abaque non anamorphose sur du papier à quadrillage régulier.
On doit à M. R. Mehmke un autre mode d'utilisation des plus remarquables de Tanamorphose logarithmique, sur lequel nous reviendrons plus loin (n** 139) et qui consiste à substituer à cer- taines courbes algébriques non pas des droites, ce qui ne serait pas possible, mais de^ courbes qui peuvent être obtenues par translation d'une seule et même courbe dessinée sur un transpa- rent.
29. Exemples : i° Quatrième type d* abaque de multiplication, — Les exemples d'application de l'anamorphose logarithmique sont extrêmement nombreux. Le plus classique d'entre eux est celui, dû à son inventeur même, qui a trait au calcul des profils de remblai et de déblai et que Ton trouvera plus loin (n° 108). Nous aurons d'ailleurs bien d'autres occasions d'utiliser ce principe dans la suite de cet Ouvrage. Aussi pensons-nous pouvoir nous borner pour le moment à indiquer l'application classique qui en a été faite par Lalanne lui-même à la multiplication (<).
Pour représenter l'équation
a, aj = «s,
il suffit, après l'avoir écrite
logai-4-logaj= logaj,
(') Nous signalerons, sur ce papier logarithmique, dont l'idée paraît due à M. W.-F. Durand, deux intéressants articles, l'un de M. René de Saussure dans la Bévue scientifique {i* semestre 1894, p. 743), l'autre du P. Poulain dans le Cosmos (numéro du 29 juin 1895, p. 390).
(') Description et usage de l'abaque, etc. (i845; 2* édition, i85i; Z* édition, i863). Les exemples d'application de l'anamorphose logarithmique sont très nom- breux. Nous citerons ceux donnés par M. Collignon pour l'écoulement de l'eau dans les tuyaux {Cours d* hydraulique)^ par le colonel Goulier pour certaines corrections topométriques {Mémorial de l'officier du Génie, n" 18, 1868), par M. A. Kapteyn pour divers calculs relatifs aux machines à vapeur {Revue uni- verselle des mines, 2* semestre, 1876), par M. A. van Muyden pour le calcul des conduites d'eau sous pression {Bull, de la Société vaudoise des ingénieurs, mars 1884 ) ainsi que pour le calcul des conducteurs électriques {Lumière élec- trique, 9 janvier 1886), etc.
Divers auteurs allemands, MM. G. Hermann {Das graphische Einmaleins, ..., Braunschweig, 1875), Helmert {Zeitschrift fur Vermessungswesen, 1876), Vogler {Sechs graphische Tafeln. . .j Berlin, 1877), semblent être arrivés de leur côté au même principe dont la priorité ne saurait pourtant être contestée à Lalanne.
IQUATIONS A
! TABIIBLES. IBAQt'ES A ENTRECROH^EMEMT.
X = l logai, y ~ Hoga,,
ce qui donne pour les droites (a,) Téquation
af-H/ = /losa,.
On voit qu'une fois le quadrillage construit les droiles(a]) scdclermineot 1res aisémenl. La droite ayant pour cote une certaine valeur de a, coupe, en effet, les ases Or et Oy aux points ayant précisément pour cote, dans les graduations de ces aies, la valeur considérée de a,. On obtient ainsi l'abaque représenté par la _^ff. 3i.
Fig. 3i
1* Abaque de l'équation des portéei tum faire voir comment l'anamorphose logarithmique permet de substituer à des abaques à radiantes des abaques à parallèles. Son rôle se borne dans ce cas à remplacer des llgnea droites par d'autres lignes droitesd'unc dis- position plus avantageuse. On saisira par la suite tout l'intérêt d'une telle substitution, mais il est bon d'observer que l'anamorphose logarithmique permet encore de construire des abaques à lignes droites pour des équa- tions qui ne sauraient, sans ce secours, bénéficier d'une telle simplifi-
Une
mple remarquable n
l'abaque de l'équation d
64 CHAPITRE II.
portées lumineuses (*), conslruit pour le Service des Phares par M. E. Allard qui en était alors Tingénieur en chef. Cette équation est
looLa''^ </*,
où a désigne le coefficient de transparence du milieu, L l'intensité lumi- neuse et d la portée lumineuse en kilomètres.
Pour construire l'abaque de cette équation, il suffit de l'écrire
log looL — — rfloga -ilogrf, et de constituer le quadrillage au moyen des formules
(a) X - — Il logrt,
(L) 7 -z /, logiooL,
ce qui donne pour éléments cotés (d) les droites (d) y = -Y^x-\- ililogd.
On commencera donc par porter sur Ox et Oy les échelles définies par les formules (a) et (L), pour élever ensuite à ces a\es, par les points de division ainsi obtenus, les perpendiculaires qui constitueront le quadrillage de Tabaquc.
M. Allard a donné à ces échelles la forme isograde (n*^8), de façon qu'en dépit de l'anamorphose le quadrillage présente un aspect régulier. II a pris pour les modules les valeurs
'1™ 'i ^"^ -77- •= I fJJJ. . ..
/î-o"',o4
et a adopté, tant sur l'axe Ox que sur l'axe O/, un intervalle constant de a""". Cela conduit à donner à a des valeurs dont les logarithmes décroissent
régulièrement de
0,002 X H .
= 0,001 5
4 •
et à L des valeurs dont les logarithmes croissent régulièrement de
0,002
— r = o,oj. 0,04
D'ailleurs, l'échelle (a) a été construite sur o"',uo de longueur, soit jus-
(') Mémoire sur l'intensité et la portée des phares^ par E, Allard (Paris, Imprimerie Nationale; 187*3).
tQUATIONB A TROIS TABIAILBS. AiÂQDBB A ENTRECROlSBlSnT. 65
I nombre dg tel que
— j\oga„ = o,t
\o%a„ — — a,i5 — 1,85,
et l'échelle (L) sur o'iSo de longueur avec une limite supérieure égale
1-B 3ï
h\i^
k
: r
loooDtNM), ce qui donne pour la limite inférieure Lg o,o4(7-'oeLo)-o,3,
66 CHAPITRE II.
OU
logLo = — 0,5 = 1 ,5,
d'où
Lo= 0,3^.
\a fig. 39. reproduit un fragment de Tabaque ainsi obtenu (*)•
M. Allard a remarqué que si (a, L, d) est une solution de l'équation,
c'est-à-dire si
100 La*' = d^y
cette égalité peut s'écrire, X étant un nombre absolument quelconque,
\\\d
iooX«L\a>^) =(Xrf)«
et que, par suite, \a^, X'L, Xrf/ est aussi une solution de l'équation.
On reconnaît là une application du principe de la superposition des gra- duations (n** âO).
L'équation ci-dessus peut en effet s'écrire
\ loo /
Sous cette forme on voit qu'elle rentre dans le type (6) du n** 21, lors- qu'on y fait
tti ^~ dy a^T-. L, as =^ a,
ce qui fait correspondre à la solution (d, L, a) la solution (Xé/, X*L, aîcr<). ainsi qu'on vient de le constater.
Si, par exemple, on prend X = — > on voit qu'à la solution (d, L, a) cor- respond la solution ( — > — > a^^ ). Le passage de d ci Là — et —^
\ 10 loo I <o loo
s'opère immédiatement de tête. Il n'en est pas de même de celui de a à a*<>.
Pour cette raison, les valeurs de a^^ ont été inscrites à côté de celles de a sur une seconde ligne. Il suffira donc, si la valeur de a figure dans cette seconde ligne, de prendre sur l'échelle de L la valeur de looL et de diviser par 10 la valeur obtenue pour d.
Par exemple, la verticale 0,917 (T" ligne) ou 0,4^2 (it* ligne) coupant l'horizontale 1,78 sur l'oblique 9, on a les solutions
a -^0,917, L = i,78, û? = 9
et
a = 0,42'-^» L = 0,0178, rf = o,9.
(') PI. K du Mémoire cité.
fiQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 67
m. — Emploi d'un transparent à trois index. Abaques hexagonaux.
Anamorphose graphique.
30. Desiderata à réaliser dans la lecture d^ un abaque. — L'anamorphose, sur laquelle nous venons de nous étendre, eh per- inellant de constituer Pabaque de certaines équations, uniquement au moyen de systèmes de lignes droites et, plus particulièrement, de droites parallèles, introduit une large simplification dans la construction des abaques, mais sans qu'il en résulte de changement essentiel dans leur mode d'emploi.
Celui-ci se réduit toujours à ce qui suit : prendre le point de rencontre de deux droites cotées, et lire la cote d'une ligne, droite ou courbe, passant par ce point.
Or, du fait qu'une cote inscrite en un point d'une ligne s'étend à toute cette ligne, il résulte qu'il faut, soit en partant de cette cote pour chercher un point d'intersection situé sur la ligne, soit en parlant de ce point pour chercher la cote, suivre la ligne sur une certaine étendue.
Cette opération s'appliquant à trois lignes pour chaque lecture, on risque, pour peu qu'on ait quelque défaut d*attention, de passer de la ligne qui devrait être suivie à la voisine et, par suite, de commettre une erreur de lecture.
En outre, si les valeurs des variables auxquelles on a aflaire ne sont pas de celles auxquelles correspondent des lignes effective- ment tracées sur l'abaque, il faut, par la pensée, faire une inler- |)olation entre ces lignes, opération qui n'est pas tout à fait aussi simple que lorsqu'il s*agit de placer, également à vue, un point intermédiaire entre ceux d'une échelle portée sur une ligne.
Enfin, Fenchevêtrement des lignes sur les abaques précédem- ment décrits peut, à la longue, produire une certaine fatigue de la vue.
Ces inconvénients ne sont pas, tant s'en faut, de nature à faire renoncer à l'emploi des abaques construits comme on "vient de le dire; on peut d'ailleurs les atténuer, dans une certaine mesure, par l'emploi de traits de force convenablement espacés dans le réseau des lignes tracées (n^ 43) ; ils sont assez sensibles cependant pour qu'on se soit préoccupé des moyens de s'en affranchir.
68 CHAPITRE II.
Le but à atteindre peut, d'après ce qui vient d'être dit, être dé- fini ainsi qu'il suit : faire en sorte que, sur l'abaqoe, une cote ne soit attachée qiCà un seul point, l'équation à représenter se tra- duisant par une certaine relation de position entre plusieurs points.
On trouvera plus loin (Ch. Ill) une méthode d'une grande gé- néralité permettant d'atteindre ce but. Mais nous possédons dès maintenant le moyen de réaliser cette condition pour les équa- tions représentables par trois systèmes de droites parallèles, grâce à une nouvelle extension de l'usage des transparents dont il a été question aux n" 13 et 18.
31. Transparent à trois index. — Si nous nous reportons au n° 26, nous voyons que pour construire l'abaque de l'équation
nous n'avons (en prenant les modules /| et /^ égaux entre eux et
les désignant alors par la seule lettre /) qu'à porter sur les axes
Ox et Oy supposés rectangulaires et sur leur bissectrice 0^ les
échelles définies par
X - //i(a,),
y- //î(«0,
/
•X
et à élever, par les points cotés de ces échelles, des perpendiculaires respectivement à ces trois axes.
Si donc nous avons recours à l'emploi d'un transparent tel qu'il a été indiqué aux n"** 13 et 18, nous voyons que nous pour- rons, grâce à ce transparent, rendre inutile, non seulement le tracé des perpendiculaires élevées aux axes Oor et Oy respecti- vement par les points des graduations (ai) et («2), mais encore celui des perpendiculaires élevées à Oz par les points de la gi*a- duation (a.^) pourvu que, par le centre 'du transparent, point de rencontre des index I^ et I2, nous fassions passer un troisième index I3 perpendiculaire à 0.3 {/i^^' 33).
Lorsque nous déplacerons ce transparent, en lui consentant son orientation, ses trois index I|, J2 et I3 coïncideront à chaque
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 69
instant avec trois des droites que Ton s'est dispensé de tracer et dont les cotes se correspondent en vertu de l'équation donnée.
En d'autres termes, il suffit, le transparent ayant une orien* TATioir CONVENABLE ( * ), de faire passcr les index l| et\^ respec- Uvement par les points a, et a2 des axes Ox et Oy pour que l'index Ij donne a, sur l'axe Oz,
Fig. 33.
L'abaque, dans ce cas, se réduit donc aux trois échelles recti- li^es (^4), {0L2) et (as), complétées par le transparent portant les trois index Ii, la et I3 (^).
Cet emploi du transparent mobile a été proposé par M. Blum, à l'occasion des calculs de terrassements, dans une Note sur laquelle nous aurons occasion de revenir (') (n® 108).
(') Poar le maintien de l'orientation du transparent, voir ce qui a été dit au D- 13.
(') Il y a lieu de se préoccuper des variations du papier en longueur et lar- geQr; avec un papier de bonne qualité, ces variations, bien que pouvant difTérer d'un lens à Taulrt, sont uniformes dans chaque sens, ainsi que permet de le con- sulter ce fait qu'un rectangle dont les côtés sont parallèles aux bords de la feuille de papier ne cesse pas d'être un rectangle. S'il reste semblable à lui-même, c'est qoe tous les angles se sont conservés sur la figure, les droites restant des droites. Par soite, l'application du transparent à trois index donne les mêmes résultats gae s'il n'y avait eu aucune variation. Si le rectangle ne reste pas semblable à loi-même, c'est que, les droites restant encore des droites, les angles ne se sont pas conservés; par suite, le transparent précédent ne peut plus servir. Mais, si r<Hi a eu soin de figurer sur l'abaque les directions des normales aux trois échelles, elles donneront, à chaque instant, les directions corrigées des trois index du transparent.
(') A. P. C, i* sem., p. 455: 1881.
70 CHAPITRE II.
Remarque, — li n'est pas essenliel que les trois échelles don- nant les cotes des trois systèmes de parallèles, non tracés, aux- quels on substitue les index du transparent, soient perpendiculaires à la direction de ces systèmes; il n^est même pas nécessaire qu'elles soient reclilignes. Supposant, en effet, les trois systèmes de parallèles d'abord construits, nous pouvons inscrire leurs cotes à leur rencontre avec des lignes quelconques et effacer ensuite ces systèmes en ne conservant que leurs graduations avec les lignes leur servant de support. L'application du transparent convenablement orienté sur le tableau formé par les trois échelles curvilignes conservées tient lieu des systèmes de parallèles effacés.
On peut même, si les trois graduations ne se gênent pas mutuellement dans les limites admises, les inscrire le long d'une seule et même ligne.
Mais, si des circonstances spéciales peuvent, en certains cas, conduire au choix de telles dispositions, il est, d'une manière générale, préférable sous le rapport de la précision, d'adopter des échelles perpendiculaires à la direction des index correspondants.
32. Principe des abaques hexagonaux, — Si l'on se reporte au numéro précédent, on voit que, moyennant l'emploi du trans- parent à trois index,. la construction de l'abaque d'une équation représentable par trois systèmes de droites parallèles se réduit à la construction des échelles des trois fonctions /"i (ai), /^{(x.^) et f^i^z) respectivement portées sur les axes Ox^ Oy et leur bissec- trice Oz, avec le même module, d'ailleurs quelconque, pour les deux premières, et ce module divisé par y/2 pour la troisième. Or, il arrive souvent que ces trois échelles dérivent d'un même étalon (n^ 6), l'étalon logarithmique par exemple; il y aurait donc avan- tage à pouvoir constituer l'abaque au moyen de trois échelles de même module. Cette considération fait ressortir a priori l'intérêt qui s'attache à l'artifice, dû à M. Lallemand, dont il va être main- tenant question et qui a encore l'avantage d'une disposition plus symétrique des échelles, celles-ci étant parallèles aux trois côtés d'un triangle équilatéral.
Cet artifice, auquel l'auteur est parvenu par une voie qui sera indiquée plus loin (n** 33), consiste à faire usage des coordonnées ainsi définies : Ayant pris deux axes Ox et Oy faisant entre eux
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 71
un aDgIe de -^ ou 120°, les coordonnées d'un point sont les
distances de Torigine O aux pieds des perpendiculaires abaissées de ce point respectivement sur Ox et Oy.
Dans un tel système de coordonnées, toute droite est représentée par une équation du premier degré
ax -h by -^ c = o.
On trouve, en outre, bien aisément, que la distance de Torigine à cette droite est donnée par
Q :— . . . - - - _ -■ -
I / a* -f- 6* -h a a6 cos ^
S
En particulier, si Ton prend une droite perpendiculaire à la bissectrice O^s de xOy^ droite dont l'équation est de la forme
on a
fi ,
0 = — //.
2 COS-
O
Dès lors, Fabaque de Téquation
étant défini, avec le module /, au moyen des équations
x-\-y = IMoLi^,
celles-ci, où x eiy désignent nos nouvelles coordonnées, repré- sentent, comme dans le cas des coordonnées cartésiennes, des droites respectivement perpendiculaires à Ox, à Oy et à la bissec- trice Oz de Tangle de ces axes; mais ici les distances de Toriginc aux droites du troisième système, qui définissent Téchelle portée sur O^, sont données, en vertu de la formule ci-dessus, par
On obtient donc alors sur Os une échelle de même module que celles portées sur Ox et Oy,
La construction de Fabaque se réduit par suite à celle des échelles
72 GHAPITRB 11.
des fonctions /i (ai), fii^a) el/3(aj), eiTectuée avec le même mo- dule, respectivement sur les axes Ox, Oy et Oz tels que l'angle
jcOy soit égal à -^ ou 120®, et que Oz soit la bissectrice de cet
angle {^g. 34).
Ici, les index I| , Is et I3, respectivement perpendiculaires à Ox, Oy et Oz constituent les trois diagonales d'un hexagone régulier, d'où le nom d'abaque hexagonal donné à ces sortes de dia- grammes.
Si donc on veut constituer le transparent au moyen d'une ma- tière rigide ayant des bords parallèles aux trois index, on lui donnera la forme d'un hexagone régulier.
Fig. 3i
L'orientation du transparent sera encore assurée au moyen de parallèles équidistantes à la direction de Kun des index (*), et son mode d'emploi ne différera pas de celui que nous avons précé- demment indiqué pour les abaques à axes rectangulaires (n® 31). Nous croyons bon toutefois de le rappeler :
Le transparent étant orienté, et son index I| passant par te point coté ai de ta première échelle, on le fait glisser dans ta direction de cet index (en appuyant une règle contre l'un de
(') Pour assurer rigoureusement cette orientation, il suffit de tracer sur le transparent un index I^ perpendiculaire à I,. Cet index étant mis en coïnci- dence avec O27 de façon que le centre du transparent marque le point coté a, sur cet axe, on applique une règle contre un des bords du transparent, parallèles à I,, et Ton fait £;lisser ce transparent le long de la règle jusqu'à ce que l'index I, passe par le point coté a, sur 0^.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 78
ses bords parallèles à I| s'il est rigide) Jus qu^ à ce que r index I2 passe par te point a2 de la deuxième échelle. U index I3 ren- contre alors la troisième échelle en un point dont la cote est la valeur aj demandée.
33. Forme géométrique élémentaire du principe précédent. — Appelons A, B, Clés points où les index I|, I2, I3 rencontrent respectivement Ox^ Oy^ Oz {fig- 35).
Les segments OA, OB et OC représentent, d'après le numéro précédent, lf\{^\)^ '/iiC^a) ^t ijz{^z)- On a donc
OC = OA -+- OB,
et comme ces segments ne sont autres que les projections de la distance des points O et O' sur Ox, Oy et O5, on voit que Téga- lité précédente exprime la propriété qui s'énonce ainsi :
La projection d'un vecteur sur la bissectrice d'un angle de 120^ est égale à la somme des projections de ce vecteur sur les côtés de cet angle.
Cette propriété est d'ailleurs bien facile à démontrer direc- tement. Elle traduit, en effet, l'identité trigonométrique
COSO)
= COS ( ^ — O) j -^ cos f j — w j ,
dont la vérification est immédiate, attendu que
COS ( T -+"*«* ) -r" COS ( ô — W ) =2 COS O) cos -
74 CHAPITRE II
et que
TT I
cos - = -
3 2
On peut donc, par une marche inverse, partir de ce théorème tout élémentaire pourétabh'r le principe des abaques hexagonaui[. C'est d'ailleurs ainsi qu'a procédé M. Lallemand pour établir hi théorie de ce genre d'abaque (* ).
La voie par laquelle nous y sommes parvenus, un peu moins élémentaire sans doute, a toutefois l'avantage de rattacher plus intimement cette théorie au corps même de la doctrine exposée dans cet Ouvrage et qui embrasse la généralité des abaques.
34. Déplacement des échelles (-). — Si l'on se donne les limites des variables ai et a2 auxquelles correspondent respectivement les points « et B| d'une part, Aj et B^ de l'autre, les limites de a» en résultent attendu que lorsque les index 1| et I^ passent respec- tivement par A| et A2, l'index I3 détermine sur la première échelle le point As; de même pour Es- On voit, en outre, en vertu du théorème énoncé ci-dessus, que l'on a
A3B3= AjBi-+-A,Bj.
Les points cotés sur A| B| servent à déterminer la position do l'index 1| dont la direction, perpendiculaire à A|B|, est fixe. Il résulte de là que si l'on déplace l'échelle A| B| dans cette direc- tion pour la reporter en A', B'^, chaque point coté continuera à définir la même position pour l'index I| {Jig. 36).
La même remarque s'appliquant aux deux autres échelles, on voit que chaque échelle peut être déplacée d^une quantité quel- conque normalement à sa direction.
On pourra donc prendre pour supports des échelles (ai), (a2)
(' ) En dehors de la Note insérée, en i88(), dans les Comptes rendus, par la- quelle M. Lallemand a porté sa méthode à la connaissance du public, il en a sous forme de feuilles autographiées, datées de i885, donné un exposé complet qu'il a bien voulu mettre à notre disposition et d'où nous avons ti^ tous les renseignements relatifs à ses travaux personnels, qui ont trouvé leur place dans cet Ouvrage.
(') Les remarques contenues dans les n*" 34 et 35, faites par M. Lallemand à propos des abaques hexagonaux, s'appliqueraient aussi bien aux abaques du 0*^31.
7^
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT.
et (as) trois droites quelconques X, Y, Z parallèles aux axes Ox^ Oy et 0^ précédemment définis. 11 faudra toutefois rigoureu- sement observer la condition que les origines A|, A2 et A3 des trois graduations se correspondent, c'est-à-dire qu'elles se trouvent simultanément sous les index I|, I2 et I3.
Fig. 36.
Nous sommes ainsi amenés au mode de construction suivant des abaques hexagonaux :
Ayant choisi trois droites X, Y et Z formant un triangle équilatéral, et ayant pris sur X un certain sens positif, nous définissons les sens positifs sur Y et sur Z par la condition qu'ils fassent avec le premier des angles {comptés dans le sens
trigonométrique positif ) respectivement égaux à— et à -•
Si a% et è| sont les valeurs limites de a,, a^ et 63 celles de a2, nous construisons sur X et Y, avec un même module l d'ailleurs quelconque, les échelles des fonctions f^{^\) et f2{^2) entre ces limites, en faisant correspondre à a^ et à a^ des points A, et As quelconques.
Les perpendiculaires élevées àlLetàY en Ai et A2 se coupent en un point dont la projection sur Z est A3. Nous construisons alors sur Z, toujours avec le module /, l'échelle de la fonction
76 CHÀPITRB II.
./:i(*s) ^'* faisant correspondre le point A, à la valeur a^ telle que
et nous la prolongeons jusqu^au point qui est la projection sur Z du point de rencontre des perpendiculaires élevées à X et à Y par les points 61^^62 qui répondent aux valeurs limites bt et b^ des variables a, et cl^.
Remarque, — Rien n^empéchera, le cas échéant, s'il en ré- sulte une meilleure disposition de Tabaque, de prendre, pour le support de Tune des échelles, une première droite jusqu'à une certaine valeur, puis une autre, parallèle à la première, à partir de cette valeur [voir les fig. ^\ et 142 ).
35. Fractionnement des échelles, — Entre les limites ai et è| d'une part, a^ et 62 ^^ l'autre, prenons des valeurs intermédiaires quelconques C| et C2.
Quatre cas peuvent alors se présenter :
I ai est compris entre ai et Ci at entre a^ et €%
II ai » Cl et bi QC] » ai et c%
III ai » ai et Cj oLf » c% et bf
IV ai •* Cl et bi aj » Cj et bt
Nous pouvons dès lors, sur une même feuille de papier, con- struire, d'après la règle qui a été donnée au numéro précédent, les abaques correspondant à ces quatre cas, indépendamment les uns des autres, mais en conservant de l'un à l'autre la même direction pour les axes.
Si l'on aligne sous une même position de l'index 1| les limites inférieures ai et Ci des deux tronçons de la graduation (ai), et sous une même position de l'index I2 les limites inférieures as et 6*2 des deux tronçons de la graduation (^2), il en résulte que les limites inférieures des quatre tronçons de la graduation (a^) sont aussi alignées sous une même position de l'index I3 {Jig> 37).
Il faut bien remarquer, d'ailleurs, que chacune des graduations (aj) des cas 11 et III est formée de parties empruntées aux gra- duations (as) des cas I et IV, puisque l'ensemble de celles-ci re- présente la graduation complète allant de (ai, 6|) à (a2, 62)*
Equations a tbois variables, abaques ^
L'easemble de» quatre abaques, ainsi réunis sur le même U-
bleau, équivaut à l'abaque unique construit précédemment, et.
-i.
grâce à ce fractionnement, il occupe une place beaucoup moindre.
Eo outre, le travail que représente l'établissement de cft abaque fractionné n'est guère supérieur à celui que comportait l'abaque unique. En effet, les deux échelles (a,), ou les deux échelles (ctj) respectivement mises bout à bout reproduiraient les échelles (a,) et (otj) non fractionnées; de même pour les deu\ échelles (xi) construites pour les cas I et IV. Quant aux deux autres échelles («s), correspondant aux cas H et III, nous venons de voir qu'elles sont constituées par des parties empruntées aux deux précédentes. Une fois celles-ci construites, leur établissement représente donc un supplément de travail insignifiant, à savoir celui qu'entraine le report sur un axe d'une partie de graduation relevée sur un autre axe.
Ici se place, d'ailleurs, une remarque essentielle : il arrive trè^ fréquemment en pratique que les valeurs des deux variables in- dépendantes a, et Oit, entre leurs valeurs extrêmes a, et b,, a-. et 6ï, ne s'anocient pas d'une manière quelconque, mais que
78 CHAPITRE II.
leurs variations simultanées, quoique indépendantes, sont de même sens.
Dans ce cas, très fréquent, je Je répèle, on pourra trouver dans les intervalles de a^ à b% et de a^ à 62 ^es valeurs moyennes c% et C2 telles que ai et fx^ leur seront ensemble respectivement su- périeures ou inférieures. Dès lors, n'ayant jamais à associer une valeur de ai inférieure à C| à une valeur de a^ supérieure à Cj, et inversement, les combinaisons II et III ci-dessus ne se produi- ront jamais et la construction des échelles (a^) correspondantes devient inutile.
La construction de Tabaque à échelles fractionnées ne repré- sente alors pas plus de travail que celle de Tabaque à échelles non fractionnées.
En tout cas, pour éviter qu^il y ait confusion dans la manière d^associer les divers tronçons d'échelles, on placera à côté de chacun d'eux certains signes, des chiffres romains par exemple, se référant aux abaques partiels dans lesquels il intervient, de sorte qu'on n'aura pour chaque lecture qu'à associer trois tronçons portant le même chiOre romain.
On pourrait aisément généraliser ce qui précède, et supposer (|ue l'on fractionne les échelles (ai ) et (aj) respectivement en n% el /i, tronçons, ce qui conduirait à construire n^ n^ tronçons d'échelle («3), à moins que la remarque précédente ne s'appli- quât; mais une telle généralisation, théoriquement sans diffi- culté, est pratiquement sans intérêt :. il est donc inutile d'y insister.
II arrivera, au contraire, très fréquemment, qu'il n'y aura lieu de fractionner que l'une des échelles (a,) et (aj), la seconde, par exemple.
11 suffit, pour tomber sur ce cas, de supposer dans ce qui pré- cède C| = 6,.
'i6. Exemples : i" Cinquième type d'abaque de multiplication. — L'équation de la multiplication étant mise, comme au n° 29, sous la forme
loga, -hlogotj = logaj,
on voit que l'abaque hexagonal correspondant, emprunté à M. Lallemand, se construira immédiatement suivant le mode indiqué au n** 34, les trois échelles fonctionnelles étant ici de simples échelles logarithmiques données
EQUATIONS A nota TARIABLKS. ABAQUES A KKTRECROISEHRNT. 79
|iar un ménieétalon. C'est là un cas où se manifeste bien nettement l'avan- tage sigBalé dans le premier alinéa du n° 32. Surl'abaque delajï^. 38les^chellea de (ii)et de (1,) à câté desquelles
Fig. 38.
on lit la lettre A ont élé l'une et l'autre fraclionnêes au point 3, et leurs seconds tronçons B ont été disposés de telle sorte 'que, pour le tronçon de l'écbelle (a,) correspondant aux tronçons B, les points de division soient les m£mes que pour le tronçon de cette échelle (aj) correspondant aux tronçons A. Pour qu'il en soii ainsi, il a suffi, ayant pris le point 1 du premier tronçon AA de l'échelle (aj), d'en faire le point 10 du deuxième tronçon BB. Le point g de ce deuxième tronçon s'est dés lora trouvé dé- terminé, et il a suffi de placer les points 3 des tronçons B de (et]) et de (il) sur les parallèles aux index I, et Ii menées par ce point g.
Associant ensuite le tronçon A de l'une des échelles avec le tronçon B de l'autre, on a obtenu, vu l'identité de ces échelles, le même tronçon AB constitué par la partie 3 à 10 de AA et la partie lo à 3o de BB mises bout i bout, le point 3 se trouvant sous la position de l'index I,, quand les index It et fi passeat respectivement par les points 1 et i d'un tronçon A et d'un tronçon B conjugués.
1* Abaque dei correclioiu dynamiques de niveau. — Les corrections d'altitude ■^t et de latitude 7)t, exprimées en décimillimètres, qu'il faut faire subir à une différence brute de niveau d, exprimée en mètres, pour
8o CHAPITRE II.
obtenir ia différence correspondante de niveau dynamique, sont données
par
T^i = — o,ooi9<iH,
T^f = — -AÔ dcosiX,
H étant l'altitude moyenne exprimée en mètres, X la latitude moyenne exprimée en grades.
Remarquons que, sauf le cas très exceptionnel de régions situées en contre-bas du niveau de la mer (pour lesquelles H est négatif), la cor- rection d'altitude 7)i est de signe contraire à celui de la différence de niveau.
En outre, la correction de latitude t)) doit être prise avec le signe de la différence de niveau ou le signe contraire suivant que la latitude X est
supérieure ou inférieure à - ou 5o^.
Nous sommes ainsi amenés à négliger les signes des seconds membres, et, par suite, à prendre la même valeur de r^^ pour deux valeurs de X sup- plémentaires, ce qui montre qu'il n'y aura lieu de faire varier X qu'entre
o et — •
2
Cela posé, pour traduire ces formules en abaques hexagonaux, il suffira
«le les écrire
logrf-T-logH -^ logo, 0019 = log|Tî, |,
loge? -h log COS2X -t- log26 = log I T^t I-
Pour la première, on aura donc à construire :
Sur l'axe X, l'échelle ;r — /loj;ûf,
•) Y, u ^r^ /(logïl-^ logo, 0019),
» Z, » z -. /log|7), |;
pour ia seconde :
Sur l'axe X, l'échelle x — llo^d^
» Y, » J' = /(logCOS2X f- log26),
» Z, ». z -- /l0g|7), |,
/ étant un module quelconque.
On voit que de l'un à l'autre abaque les échelles portées sur X et sur Z sont les mêmes. On pourra donc les prendre en commun, et construire parallèlement l'une à l'autre les deux échelles (H) et (X) portées sur les axes Y.
En outre, on pourra fractionner réchelle {d) commune au point d = 10, en faisant coïncider le point 10 du second tronçon avec le point i du pre- mier, ce qui entraînera de même la coïncidence de tout point 10 s du se- cond tronçon avec le point a du premier. •
D'ailleurs, les corrections t), etTjj étant proportionnelles à rf, le tronçon
£QI:ATI0.%S a TBOIX TARIABUS. abaques a EMBEOBOISEXE-IT. I
correspondaDt de l'échelle (t„, t;,) s'obtiendra ïiimplcmcnt en multiplia par to les cotes des points du premier tronçon ( ■ ),
C'est ainsi qu'a été obtenu l'abaque île la Jîg. 3g emprunté ù M. I.all mand (').
KiB- 39.
(') On reconnaît li une applii pnndants (d> 31). (•) Nivellemtnt de haute préc
82 CHAPITRE II.
■ Pour éviter toute confusion, on a souligné les cotes des seconds tron- çons des échelles (d) et (r^j, r^j).
Le mode d'emploi de l'abaque, moyennant cette distinction des deux tronçons des échelles (d) et (tji, tjj), se résume donc en ceci :
Le transparent étant orienté, et son index Ij passant par le point coté d de la première échelle, on le fait glisser dans la direction de cet index de manière à amener son index Ij à passer successivement par les points cotés H etX des secondes échelles {^verticales) \ dans ces deux positions^ l* index I3 donne sur la troisième échelle d'abord r^,, puis r^j.
On trouvera plus loin (n** 109) une autre application de la méthode des abaques hexagonaux dans le cas des équations à trois variables.
37. Juxtaposition d* abaques hexagonaux. Abaques à glis- sement. — Le principe des abaques hexagonaux a été étendu par M. Lallemand lui-même à des équations contenant un nombre quelconque de variables, grâce à un artifice qui peut revêtir la forme analytique que voici :
Prenant un nombre quelconque de fonctions d^une variable, posons
(I) (2) (3) (4)
• ■ •
Nous pourrons représenter ces diverses équations par des aba- ques hexagonaux définis par les mêmes axes Ox, Oy et Oz, en ayant soin d'écarter les unes des autres les échelles parallèles à un même axe par application de ce qui a été vu au n** 34, c'est-à-dire en alignant les origines de ces échelles sur une perpendiculaire à leur direction commune menée par l'origine O.
Nous définirons, d'ailleurs, les échelles des divers abaques par les formules (où, pour plus de simplicité, nous faisons le module / égal à 1)
(H) x-^a,,, y = - fz{^z), -5 = <yj,
(III) a? = (14, y^ M^'.)^ ---^«^6,
(IV) ^-cio, r^- /si»:.). - ^ «^5,
|
/.(«.) |
--/2(aj) = <r.i, |
|
/a («s) |
--<r3 -^K. |
|
/*(«*) |
- dv -~^- «^6, |
|
M^^) |
-;-<T5 — ^^6, |
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 83
Suivant que n sera pair ou impair, les formules relatives au der- nier abaque seront
<N — II) a7=<T„, y ^— //l-l(a/l-l), Zr=fJn-\
ou
On voit que les abaques des équations (A*) et (A'-f-i) ont en commun l'échelle de Oz si k est impair, celle de Ox si A* est pair. Par conséquent, pour /aire passer le transparent de sa position sur V abaque de rang (k) à sa position sur r abaque de rang (Ar-l-i), il suffit^ en maintenant son orientation, de le faire glisser perpendiculairement à Oz, c'est-à-dire dans la direc- tion DE l'index I3, SI k EST IMPAIR, perpendiculairement à Ox, c'est-à-dire dans la direction de l'index I|, si At est pair.
Cela posé, remarquons que les équations (i) à (n — 2), addi- tionnées ensemble, donnent
/i(ai)-+-/t(«2}-+-----+-/«-i(««-i) = ^n-
Construisons sur l'abaque les échelles (ai), (aa), ..., (oLn-i) à l'exclusion des échelles (c'a), (^•4), . . ., (o'w-i) et sur l'axe qui por- terait l'échelle (o*,,), construisons celle de la fonction — /«(a,/), c'est-à-dire construisons l'échelle ^ = — fn{^n) si n est pair, l'échelle z = — fn{^n) si n est impair.
Nous aurons ainsi
(E) /i(ai)-H/i(a,)H-...-4-/«_,(art_,)-+-/«(a„) = o,
et nous voyons, d'après ce qui vient d'être dit, que tout système de valeurs de «i, aj, . .,, a^ satisfaisant à l'équation ( E) sera tel que, si, après avoir fait passer l'index 1| par le point (a,), on donne au transparent les glissements alternatifs qui viennent d'être définis, de manière à prendre successivement avec l'index I2 les points («2), («3), ..., (a„_i), l'index l| si n est pair, I3 si n est impair, donnera, dans la dernière position du transparent, la va- leur de a„ sur l'échelle correspondante.
En résumé, la représentation de l'équation (E) ci-dessus s'ob- tiendra comme suit {fig* 4o et 4o bis) :
En ayant soin d'aligner les origines des échelles parallèles à un même axe sur une perpendiculaire élevée enO à cet axe,
S^ CHAPITRE II.
on construit parallèlement àOx l'éclielle de la fonction f,{%i), parallèlement à Oy celles des fonctions ft{<i'3), ^/a(*a)- /,(«,). —/j(a,}, ..., i~ i)''f„_,{ai„_,), enfin parallèlement et Ox si n est pair {fig. ko), à Os si n est impair {fig. 4o bis), celle de la fonction —fni^n)-
Fig. V-
On trace, en outre, deux flèches F' et F" perpendiculaires l'une à Oz, l'autre à Ox.
El le mode d'emploi de l'abaque est le suîvanl : Le transparent étant convenablement orienté, on fait passer .son index l, par le point (a, ), son index I^ par te point («ï). puis on le fait glisser alternativement dans le sens des flèches F' et F", de façon à amener successivement son index ï-i à passer par les points (aj), («i), («j) Quand cet index Ij passe
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 85
par le point (a;,_i), Vindex^ l| ou I3, perpendiculaire à ^échelle (oin)y rencontre cette échelle en un point dont la cote est la valeur de aL„ demandée.
Nous rencontrons ainsi un premier exemple de représentalion d'une classe d'équations à un nombre quelconque de variables.
38. Exemple : Abaque des sinus et des tangentes, — Nous emprun- terons à M. Lallemand l'exemple suivant : Soit à représenter les équations
ai sinx] = a4 sinaa, (Zitangas= oc^tangas,
qui sont d'un usage fréquent dans les applications de la Trigonométrie plane. Nous les écrirons
logai-h logsinaj — logsina3 — loga^— o, logai •+■ log tangsj — ^og tangas — loga4= o.
Pour représenter la première, nous n'aurons, d'après ce qui précède, qu'à construire parallèlement à Ox l'échelle des fonctions log^i et loga^ qui n'en formeront qu'une, parallèlement à Oy celle des fonctions log sînaj et log sinaa qui se confondront également.
De même pour la seconde équation, en changeant les log sin en log tang. On pourra, d'ailleurs, faire coïncider les échelles logarithmiques (ai), ou échelles des longueurs, des deux abaques. On obtient ainsi \^ fig, \\ sur laquelle Téchelle des tangentes a été fractionnée au point coté 4^*'<
Il n'y a ici à effectuer qu'un seul glissement dans la direction des pa- rallèles équidistantes tracées sur l'abaque.
Le mode d'emploi sera donc le suivant :
Faire passer les index Ii et Ij du transparent convenablement orienté respectivement par les points (œi) de V échelle des longueurs et {if) de Véchelle des sinus {ou des tangentes)^ puis faire glisser ce transparent dans la direction des parallèles équidistantes jusqu'à ce que son in- dex I2 passe par le point {1^) de r échelle des longueurs; son index \ y coupe alors Véchelle des sinus {ou des tangentes) au point coté («4).
Si, après avoir pris l'échelle des sinus dans la première position du transparent, on prenait, après glissement, l'échelle des tangentes, on au- rait résolu l'équation
ai sina2= a^ tangaa.
39. Définition de V anamorphose graphique, — Tous les abaques envisages jusqu'ici dérivaient d'un type unique ainsi
S6
CHAPITRE II.
constitué : un quadrillage coté sur lequel est dessiné un faisceau de courbes cotées.
Les cotes des verticales du quadrillage se rapportent à une des variables ai, celles des horizontales à une autre variable aj, enfin les cotes des courbes à la troisième variable aj, et les valeurs de ces trois variables se correspondent en vertu de Téquation pro- posée lorsque cette verticale, cette horizontale et celte courbe se croisent en un même point.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 87
Les diverses cotes croissant par échelons égaux ^ le quadrillage pourra être régulier ou irrégulier, c'est-à-dire que les deux s;ys- tèmes de parallèles qui le constituent pourront être à intervalles égaux ou inégaux.
L'abaque d'une équation à trois variables, construit avec un qua- drillage quelconque, pourra toujours être considéré comme trans- formé de celui que donne la mélhode cartésienne (n" 16), si Ton fait correspondre à chaque droite du quadrillage régulier que com- porte celle-ci la droite parallèle de même cote du quadrillage irrégulier que l'on aura choisi.
Rien d'ailleurs n'est plus facile que de passer de l'abaque car- tésien à son transformé. Si, enefiet, un point du premier se trouve à la rencontre de la verticale a, et de l'horizontale a^, son trans- formé sera également sur le second à la rencontre de la verticale a, et de l'horizontale ol^* Cette remarque, appliquée aux divers points d'une courbe tracée sur le premier abaque, permet de con- struire immédiatement la courbe correspondanle sur le second.
L'anamorphose, telle qu'elle a été ci-dessus envisagée, a pour but de déterminer ce quadrillage irrégulier de façon que toutes les courbes données par la méthode ordinaire sur le quadrillage ré- gulier deviennent des droites.
On vient de voir à quel caractère analytique se reconnaît la pos- sibilité d'une telle transformation et de quelle façon elle se réalise pour une équation de forme donnée, mais on peut aussi tenter de l'effectuer sur un abaque cartésien dont les courbes ont été obte- nues empiriquement, en transformant l'une d'elles, suivant le mode indiqué au n'* 15 et voyant, avec le nouveau (|uadrillage ainsi déGni, ce que deviennent les autres.
Une telle anamorphose est dite graphique, Lalanne en a fait connaître un exemple remarquable, relatif à Tabaque qui traduit la loi de mortalité de Demonferrand pour la population fran- çaise (').
M. Lallemand a utilisé l'anamorphose graphique à un autre point de vue, en se proposant non pas de substituer des droites à
(') Mémoire sur les Méthodes graphiques <, dans les Notices publiées par !«' Mioistère des Travaux publics à l'occasion de IP^xposilion de .Melbourne (Iinp. iNat.; 1880), p. 3;4 à 879.
88 CHAPITRE II.
des courbes, maïs de remplacer des courbes coupant un des sys- tèmes d'axes du quadrillage sous un angle trop pelit par d'autres courbes ne présentant pas le même inconvénient par rapport aux axes du quadrillage transformé.
40. Exemple, — En voici un exemple emprunté à cet auteur : Ayant à représenter Téquation (')
«8 — «3
supposons que Ton pose d'abord
/ étant un module quelconque, ce qui définit un quadrillage régulier. Nous aurons alors pour les courbes cotées («3) l'équation
X y -^- /aa
/ ~ y — /ci3
qui représente des hyperboles équilatères passant toutes par le point (x = — l^y = o) et toutes asymptotes à la verticale x — l {Jig. 4^^)-
L'angle sous lequel chacune de ces hyperboles rencontre les horizontales, très aigu au voisinage de Oy^ croît rapidement à mesure qu'on s'éloigne
de cet axe pour devenir, à la limite, égal «à - quand x — /. La précision avec
laquelle s'obtiennent les points de rencontre suit une loi inverse.
Pour remédier à cet inconvénient, M. Lallemand a eu recours à une anamorphose graphique ayant pour effet de substituer à ces hyperboles des courbes coupant les horizontales dans toute la portion utile du plan
sous des angles différant peu de ^•
4
Cette anamorphose graphique ne porte d'ailleurs que sur les hori- zontales du quadrillage, les verticales restant invariables.
Ayant pris la courbe du faisceau correspondant à la valeur moyenne de «3 (ici 23= 5), on lui mène une tangente TT' faisant avec les axes des
angles égaux à -^1 et l'on définit le uiodc de correspondance entre les nou-
4
vellos et les anciennes horizontales ainsi qu'il suit :
Pour une même cote les points de rencontre de la première horizon- tale avec Vhyperbole 5 et de la seconde horizontale avec la droite TT' sont sur une même verticale.
(' ) Pour ref)rcsenler celte équation par trois syslènios de lignes droites, il suf- lirait de poser x — aj, y -- a^
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 89
C'est, on le reconnaît immédiatement, la transformation de l'hyperbole 5 en la droite TT' suivant le mode envisagé au n** Ifi, le transport des points ayant seulement lieu parallèlement à Oy au lieu de Ox.
Par exemple, les premières horizontales 10, 20, 3o, 40, 5o coupant l'hy- perbole 5 aux points a, p, y» ^î ^» ^^ mène par ces points des verticales qui coupent la droite TT' aux points a\ P', y', 0', z'. Les secondes horizon- tales 10, 20, 3o. 4o, 5o sont celles qui passent par ces points.
l'ig. 4j.
Rien de plus facile, dès lors, que d'obtenir la transformée d'une courbe de Tabaque primitif. Ayant pris ses points de rencontre avec les diverses horizontales de cet abaque on les reporte par des verticales sur les hori- zontales correspondantes du nouvel abaque.
C'est ainsi que sur \^ fig. 4?- les courbes i et 10 en trait gras(*) ont été déduites des courbes i et 10 en trait fin. Quant à la courbe 5, elle a pour transformée la droite TT' elle-même. On voit que les angles de ces courbes
ir
avec les horizontales s'écartent peu de -
4
(') Un calcul bien facile montre que ces diverses courhos ont des équations de même forme que les précédentes. Ce sont donc encore des iiyperboies.
go CHAPITRE II.
IV. — Anamorphose générale.
41 . Principe. — L'idée de ranamorphose, développée dans les paragraphes précédents, conduit tout naturellement à la générali- sation que voici :
A chacune des variables ol^ et aa faisons correspondre un sys- tème de courbes cotées quelconques. Si nous associons les couples de valeurs de a, et a2 conduisant, en vertu de l'équation proposée, à une même valeur de as, et que nous prenions les points de ren- contre des courbes cotées correspondantes, ces points seront dis- tribués sur une courbe à côté de laquelle nous pourrons inscrire la valeur de ol^ considérée. En répétant cette opération pour une série de valeurs de as nous obtiendrons un système de courbes cotées pour cette variable, et ce système, joint à ceux qui ont été arbitrairement choisis pour a, et ol^^ constituera un abaque de l'équation proposée.
En un mot, toute équation à trois variables peut être repré- sentée au moyen de trois systèmes de courbes cotées dont deux arbitraires, trois courbes prises respectivement dans chacun de ces systèmes étant correspondantes lorsqu'elles concourent en un même point.
On peut se demander s'il y a pratiquement intérêt à envisager une telle généralisation. Or, on conçoit a priori la possibilité de représenter uniquement au moyen de droites et de cercles cer- taines équations auxquelles n'est pas applicable Tanamorphosc de Lalanne. Cette considération suffit à faire ressortir l'intérêt qui s'attache au principe général ci-dessus, qui a été rencontré par M. Massau, ingénieur au corps belge des Ponts et Chaussées (*), lorsque cet auteur a cherché à généraliser l'anamorphose de La- lanne en constituant le canevas de l'abaque au moyen non plus de deux systèmes de droites parallèles, mais de deux systèmes de droites quelconques, ainsi qu'on le verra plus loin (n" 47).
Avant de donner l'expression mathématique de ce principe gé-
(') Mémoire sur l'intégration graphique et ses applications^ paru dans les Annales de l'Association des Ingénieurs sortis des Écoles spéciales de Gand (Liv. III, Ch. III, § 2); i88^
fiQDATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. Ql
néral, nous croyons utile de dire quelques mots des systèmes de courbes cotées.
42. Systèmes de courbes cotées. — Soit Téquation
où a désigne un paramètre arbitraire, x ei y des coordonnées ponctuelles quelconques, généralement des coordonnées carté- siennes.
A chaque valeur de a correspond une courbe, et, lorsqu'on fait varier ce paramètre de — oo à + oo, on obtient un système sim- plement infini ou faisceau de courbes.
Supposons que, faisant varier a par échelons égaux entre les li- mites a et bj nous construisions la partie de chacune des courbes correspondantes comprise à l'intérieur d'une certaine aire A en ayant soin d'inscrire à côté de chacune d'elles la valeur corres- pondante du paramètre a; nous obtenons ainsi un système de courbes cotées (a) (*).
Toutes ces courbes sont tangentes à une même courbe, leur enveloppe, dont l'équation est le résultat de l'élimination de a entre les équations
Mais, outre que la partie de cette enveloppe, qui est tangente aux courbes tracées, se trouve généralement en dehors de l'aire A, il faut remarquer que, sauf dans le cas où les courbes cotées sont des droites, elle n'offre aucune utilité pratique.
Si l'on est conduit à envisager une valeur de a autre que celles qui ont servi à la construction du système, on doit se figurer entre les courbes effectivement tracées les plus voisines, celle qui répondrait à cette valeur de a, en se laissant guider par l'allure des courtes environnantes. Cette interpolation à vue est, on le voit, assez délicate et la précision qu'elle peut donner dépend bien évidemment de l'habitude qu'en peut avoir le lecteur.
(') Rappelons, ainsi que nous l'avons déjà dit au n" 16, que ces courbes ont également reçu le nom de courbes d'égal élément (Lalanne) et de courbes iso- plèthes (Vogler et Lalanne). Nous nous en tenons au terme plus simple et plus expressif de courbes cotées.
92 CHAPITRE II.
Lorsque, par la suile, nous parlerons des courbes cotées d'un système, on devra entendre par là non seulement celles qui seront <î(ïectivement tracées sur le tableau, mais encore celles qu'il est possible de leur adjoindre par une interpolation à vue.
Il convient d'observer que la construction d'un système de courbes cotées ne comporte pas, en général, à beaucoup près, un travail équivalent à la somme de ceux qu'exigerait la construction (les courbes qui le constituent, prises individuellement. Il arrive, en effet, presque toujours que, une fois l'une de ces courbes obtenue, le tracé des autres s'en déduit avec une grande facilité. On peut citer, à ce point de vue, comme particulièrement carac- téristique, l'exemple des systèmes de courbes qui se rencontrent plus loin aux n*** 12S et 126.
43. Disposition des cotes d'un système, — On peut placer la cote d*une courbe d'un système en un point quelconque de cette courbe. II sera même bon, si le tableau est de quelque étendue, de la répéter de distance en dis- tance le long de cette courbe, pour que, en partant d'un point quelconque, l'œil n'ait pas à efTcctuer un trop long parcours avant de rencontrer la cote cherchée.
Pour faciliter cette recherche, il conviendra aussi d'observer une cer- taine continuité dans l'inscription des cotes des diverses courbes, c'est- à-dire de les disposer le long d'une courbe d'allure régulière, d'ailleurs quelconque. Une bonne disposition consistera à choisir à cet effet une trajectoire orthogonale du système des courbes cotées, ou du moins une courbe s'en écartant peu.
On pourra également échelonner les cotes le long d'une trajectoire dont les arcs, compris entre les diverses courbrs du système, seront tous égaux entre eux, de telle sorte que, sur celte trajectoire, les cotes seront régu- lièrement espacées.
On voit d'ailleurs immédiatement que, si les courbes cotées sont consi- dérées comme les projections des courbes de niveau d'une surface, une telle trajectoire n'est autre que la projection d'une ligne d'égale pente de cette surface.
Kn vertu de la remarque qui termine le n" 31, on pourrait, pour trans- former un abaque à parallèles en un abaque avec transparent à trois in- «lc\, prendre comme trajecloire des cotes de chacun des systèmes de pa- rallèles une courbe répondant à la condition ci-dessus. La partie restante de l'abaque se composerait alors de trois courbes graduées régulièrement. Mais cela n'a qu'un intérêt purement théorique.
Dans tous les cas, on simplifiera l'inscription des cotes, en même temps qu'on rendra la lecture plus sure, par l'emploi de traits de force qui serviront au tracé des courbes prises de lo en lo, par exemple, des traits un peu
ÉQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMEM. qS
moins renforcés étant encore appliqués aux courbes médianes des inior- valJes laissés entre les premières. C'est là une extension toute naturelle de la Remarque qui termine le n" 2.
44. Systèmes de droites, du premier degré (').-- Si Téqua- lion d'une droite contient algébriquement le paramètre a au degré w, elle définit un système de droites, du /i'*"* degré. De telles droites admettent en général une enveloppe de la classe w, puisque, à un couple de valeurs données pour x et j^, correspon- dent n valeurs de a, ce qui montre que, par tout point, on peul mener n tangentes, réelles ou imaginaires, à l'enveloppe du sys- tème.
Les cas les plus intéressants sont ceux iie n-.= \ et /î - - 2, pour lesquels l'enveloppe se réduit respectivement à un point et à une conique.
Considérons d'abord un système de droites (a) du premier degré. Son équation est de la forme
<i) U-r-aV^o,
«II U et V sont des fonctions linéaires eu x et^.
A. a = o et a:==ao correspondent respectivement les droites U =^ o et V -— o, représentées sur la Jîg, 4»^ pj^r AB et AC.
Toute autre droite (a) ou AM du système passera par le point de rencontre A de ces deux premières droites. Si l'on remplace U et V par leurs valeurs développées en .r
(') L'étude des systèmes de droites du premier cl du deuxième degré a élè faite dans le Mémoire cité de M. Massau, où les résultats rappelés ici sont établis d'une laçoo uo peu différente.
9^ CHAPITRE II.
et y^ on voit que l'équation (i) renferme, sous forme homogène, six coefficients. Il faut donc cinq conditions pour définir le sys- tème. La connaissance du point  équivaut à deux conditions. Il faudra donc connaître les cotes de trois droites menées par ce point .pour que la détermination géométrique du système soit complète.
Coupons ce système par une droite BC quelconque. L'équa- tion (i), conservant la même forme pour un changement quel- conque des axes de coordonnées, nous pouvons, sans nuire à la généralité, supposer que cette droite BC se confond avec Taxe des X. Alors, pour avoir l'échelle déterminée sur cet axe par le système (a), il suffira de faire JK = o dans (i), ce qui donne l'équation d'une échelle linéaire (n® 7).
D'après ce qui a été vu en cet endroit, on peut construire géo- métriquement une telle échelle lorsqu'on en connaît trois points. En particulier, on peut se servir des points B (a = o) et C(a =00), auxquels on adjoindra le point de rencontre M d'une droite quel- conque (a) du système avec la droite BC.
Rappelons quelle est la construction donnée au n** 7 : si, par le point M, on mène la parallèle MB' à AC, l'échelle régulière ayant son point (o) en B' et son point (a) en M, projetée à partir de A sur BC, donne, sur cette droite, l'échelle demandée. On peut donc dire que ie faisceau cherché détermine sur toute droite parallèle à AC une échelle régulière,
45. Systèmes de droites, du second degré. — Un tel système est défini par une équation de la forme
(i) U-i-aV>+-a«Wr-o,
où U, V, W sont des fonctions linéaires en x et y,
A a = o et a=^oo correspondent respectivement les droites
U = o et W = o, représentées sur h Jig. 44 par AB et AC.
Soit, en outre, BC la droite V :- o.
L'enveloppe du système a pour équation
C'est donc une conique F tangente à AB et à AC en B et en C. L'équation (1) renferme, sous forme homogène, neuf coeflfi-
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. qS
cients. Il faut donc huit conditions pour définir le s^'Stème. La connaissance de la conique F équivaut à cinq conditions. Il faudra donc, si elle est donnée, connaître, en outre, les cotes de trois de ses tangentes pour que la détermination géométrique du système soit complète. La conique F sera d'ailleurs définie si on a ses points de contact avec trois des tangentes cotées données.
Fig. 44. ■
En particulier, lorsque les droites AB, AG et BC ont été con- struites, on connaît, par le fait, deux tangentes cotées AB(a = o) et AC(a = oo) avec leurs points de contact B et G. 11 suffit alors de construire une autre droite quelconque MN de cote a, pour que le système soit géométriquement défini.
Quatre droites quelconques du système, prises avec leurs cotes, équivalant à huit conditions, permettront également de construire le système.
Cette construction repose, dans tous les cas sur le théorème suivant : F^s points de rencontre, pris avec les cotes correspon- dantes y de toutes les droites du système avec l'une quelconque d* entre elles forment une échelle linéaire.
En effet, les points de rencontre des droites du système défini parFéquation (i) avec la droite dont Féquation est
(2) U-haoVH-aîW=^o
se trouvent sur les droites du système
(3) V-i-(a-T-cto)W = o,
dont Féquation s'obtient par soustraction de (i) et (2), et comme
96 CHAPITRE II.
ce système esl du premier degré, l'échelle qu'il engendre sur la droite (2) est linéaire. Le point coté a© sur cette échelle est évi- demment son point de contact avec la conique F.
En particulier, les échelles situées sur AB et sur AC sont données l'une par
(4) U— o avec V-i-aW = o, l'autre par
(5) W = o avec U-î-aVr:^o.
Si l'on connaît quatre droites cotées du système, on a, sur cha- cune d'elles, par sa rencontre avec les trois autres, trois points de l'échelle linéaire correspondante. On peut donc construire cette échelle (n" 7). Après en avoir ainsi obtenu deux, il suffit de tirer des droites entre leurs points de même cote pour avoir le système demandé.
Revenons au cas où l'on a tracé les droites AB, AC, BC et une droite MJN de cote quelconque a dans le système.
L'échelle linéaire sur AB est définie par les points B(o), M(a) et A(oo); celle sur AC par les points A(o), N(a) et C(oo).
Si nous menons par M la parallèle MB' à AC et que nous con- struisions sur cette droite l'échelle régulière ayant son point (o) en B' et son point (a) en M, il nous suffira de projeter cette échelle à partir de C sur AB pour avoir l'échelle située sur cette droite. De même l'échelle située sur AC s'obtiendra par projection à partir de B de l'échelle régulière construite sur la parallèle NA' à BC et SLyanl son point (o) en A' et son point (a) en N.
Le point E où la droite (a) touche son enveloppe F est défini par l'équation (1) et sa dérivée par rapport à a,
(6) V-+-2aW = o.
Celle dernière équation, multipliée par - et retranchée de (1), donne
(7) U-^-V^o.
•1
Le point E se trouve donc à Tintersection des droites définies par (6) et (7). Or, la comparaison de ces équations avec (4) et (5) montre que la première représente la droite qui joint le point C
ÉQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISE.MKNT. 97
au point coté 2a sur l'échelle de AB, et la seconde la droite qui
joint le point B au point coté - sur Téchelle de AC. De là une
facile consti'uction du point E lorsque ces deux échelles ont été obtenues.
Remarque. -- Pour qu'une échelle linéaire soit régulière, il faut que son point coté (oo) soit à l'infini. 11 n'y aura donc, en gé- néral, qu'une droite d'un système du second degré sur laquelle les autres détermineront une échelle régulière, à savoir celle qui sera parallèle à la droite cotée (oo), c'est-à-dire la tangente à la co- nique r parallèle à AC. Toutefois, si la droite (oo) est tout entière transportée à l'infini, ce qui a lieu lorsque W se réduit à une constante, auquel cas la conique F est une parabole, les échelles de toutes les droites du système sont régulières. La conique F peut d'ailleurs être une parabole sans que sa tangente cotée (oo) soit précisément celle qui est située à l'infini.
46. Abaque général à trois systèmes de courbes cotées. — Considérons les trois systèmes de courbes cotées définis respecti- vement par les équations
<'«i) F,(a?,7, a,)=o,
(aj) FsCx,^, aj)=:T o,
«atj) F3(a:, ^, a3)=:o.
Si trois courbes prises respectivement dans ces systèmes con- courent en un même point, leurs cotes sont liées par l'équation
(E) *(ai,aî,a3)=o,
obtenue en éliminante: et y entre les trois équations précédentes, et cela, bien entendu, quelle que soit l'espèce (cartésiennes, po- laires, etc..) des coordonnées x et y.
L'ensemble des trois systèmes («4), (a2) et {ol^) constitue donc un abaque de Féquation (E), dont le mode d'emploi tient dans ce simple énoncé :
La valeur de la variable prise pour inconnue est donnée par la cote de la courbe du système correspondant, qui passe par le point de rencontre des courbes cotées au moyen des va-
M. D'O. 7
93 CHAPITRE 11.
leurs des deux autres variables dans les systèmes correspon- dants.
On voit que si l'étjuation (E) esl donnée, on pourra choisir arbitrairement deux des trois équations de courbes cotées, les deux premières, par exemple, la troisième s'obtenant par l'élimi- nalion de a, ela^ entre celles-ci et l'équation (E).
JVIais, et c'est là un point essentiel, il faudra à la fois que les équations (a.,) et (x^) qu'on se sera données et l'équation (fXj), obtenue comme on vient de le dire, représentent des courbes réelles.
Lorsque, sous cette condition, on formera les équations (n,), (ai) et (aj), qui, par élimination de X el y, devront redonner l'équation (E). on pourra dire que l'on opère la disjonction des variables.
Il faut, en outre, remarquer qu'en pratique les variables a, et xj prises comme variables indépendantes auront des limites a, et b, pour l'une, a^ et b^ pour l'autre. On commencera donc par con- struire les courbes correspondantes (<i|) el{b,) du premier sys- tème, (oj) et (ôï) du second (^fig- 4^)- Ces courbes détermi-
neront un quadrilatère curviligne, et il ne sera, bien entendu, nécessaire de construire les diverses courbes («i), («a) et (a,) qu'à l'intérieur de ce quadrilatère. Toutefois, si ces courbes sont
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 99
des droites ou des cercles, dont le tracé ne coûte pas plus de peine quand on Tétend davantage, on pourra, en vue par exemple d^une plus grande netteté dans l'inscription des cotes, les pro- longer au delà des limites qui viennent d'être définies.
Remarquons enfin qu'il pourra y avoir Heu de pratiquer l'inter- polation dont il a été question au n^ 42 pour une, pour deux des variables, ou même pour les trois à la fois. L'opération mentale, qui consiste à se figurer, au milieu des courbes effectivement tracées, les trois courbes correspondant aux deux données et à Finconnue, exige alors quelque attention et fournit des résultats dont la précision dépend évidemment de la plus ou moins grande habitude du lecteur et de la justesse de son coup d'œil.
On voit immédiatement comment les méthodes déjà exposées résultent du principe général ci-dessus.
Il suffit de prendre pour équations (ai) el (ol^)
pour obtenir comme équation (as)
C'est la méthode cartésienne (n" 16). Si Téquation (E) est de la forme
on n'a qu'à prendre pour équations (ai ) et (a2)
pour avoir comme équation (ag)
On retrouve ainsi la méthode de V anamorphose (n®2i) telle qu'elle a été donnée par Lalanne.
Voyons maintenant quelle nouvelle extension de l'anamorphose peut résulter du principe général qui vient d'être indiqué.
lOO CHAPITRE II.
47. Abaques à trois systèmes de droites entrecroisés, — L^anamorphose de Lalanne avait pour objet, en substituant à un quadrillage régulier un quadrillage irrégulier, de transformer un système de courbes cotées dessiné sur le premier en un système de droites sur le second.
Supposons maintenant qu^au lieu d^un quadrillage nous con- struisions un réseau formé de deux systèmes de droites quelconques et que, dans ces conditions, les courbes cotées correspondant à la troisième variable soient aussi des droites quelconques.
Si, pour abréger l'écriture, nous écrivons /,-, «p/, ifi au lieu de /i{oLi)^ cp/(a/), ^i(tt|), pour e=:i, 2, 3, nous voyons que nous aurons pour les systèmes (ai ), (a2) et (as) les équations
(a,) ^/i-+-J'?i-+-4'i= o,
(aj) a7/,-+-^ç,-ht;^, = o,
(as) a^/3-^^?3-i- 4^3 = 0.
Uélimination de x ei y entre ces trois équations nous donne Téquation représentée qui peut s'écrire
(E)
/i ?i 'l'i
A ?j '\'t
A ?3 4^3
= o.
Si donc une équation peut être mise sous cette forme, on pourra immédiatement effectuer la disjonction des variables par les équa- tions (ai), (a2) et (as) ci-dessus, et, en construisant les trois sys- tèmes de droites définis respectivement par ces équations, on aura constitué un abaque à droites entrecroisées pour l'équation (E).
C'est en cela que consiste le principe de l'anamorphose géné- ralisée, énoncé pour la première fois par M. Massau (*).
Pour reconnaître si ce principe est applicable à une équation donnée, il faudra d'abord essayer de la mettre sous la forme (E) ci-dessus. Si l'on n'a pas recours pour cela à une méthode analytique rigoureuse (^) on se livrera à quelques tâtonnements. Ceux-ci seront d'ailleurs facilités si l'on a déterminé a priori certains
(') Intégration graphique, Liv. III, Cli. III, g 2. (-) Voir le n» 151.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. lOI
tjpes d'équations susceptibles de revêtir la forme (E) ci-dessus ('). Il est intéressant à cet égard de s'arrêter au type ci-dessous qui a été rencontré par M. Massau (^).
48. Type adéquations rentrant dans la classe précédente. — Ces équations sont celles de la forme
(i) (7Wiai-+-ni)(mia,H-/i,)/,-4-(/?ia,-h7i)(/?,ai-f-7,)?3
H-(riai-+-5, (r,aj-+-5t)<^3=«
ov/^j Ç3 et A3 représentent des fonctions quelconques de a.,.
Puisque nous sommes libres de choisir les équations (a<) et («2) (n° 46) prenons celles qui résultent de l'élimination de 0.2 d'une part, de ai de l'autre, entre les équations
(r,a,H-^,)(r,xj-+-5,) ' -^ "(r,a,-l- 5, )(r,aj-i- 5,) '
L'équation (as) sera alors
(a,) ^/3-+-r?»-^-'^3= o.
Formons les équations (a, ) et (a2) ainsi qu'il vient d'être dit. Par un calcul qui exige quelques écritures mais n'offre aucune difficulté, puisque chacune des équations (2) est du premier degré par rapport soit à ai, soit à a^, nous obtenons
lai) ^-^-^ =-^arH — -^ ^-^ Y -\ ^^^=— -±i-i — o,
/Hiai-H/it PiOt-i^qi r^oLi-^ Sx
{%f) ±-x H y H =0.
Ces deux dernières équations définissent des systèmes de droites du second degré.
L^ équation ( i ) ci-dessus est donc représentable par trois systèmes de droites dont deux nécessairement du second de- gré.
Mais il y a plus : Ces deux systèmes du second degré ctdmettent la même conique enveloppe.
( ' ) Voir plus loin (Ch. VI, II B) rétudc des équations obtenues en supposant toutes les fonctions /, cp, 4^ linéaires.
(^) Loc, cit. Les démonstrations ici données sont entièrement différentes de celles de M. Massau.
102 CHAPITRE II.
Pour le démontrer il suffit de faire voir que les droites (ai) et (aa) coïncident deux à deux, c'est-à-dire que, quel que soit a,, on peut déterminer aj de façon que les droites (a,) et (a2) coïncident. La vérification directe de ce fait exigerait des calculs très compli- qués; elle devient fort aisée grâce à Tartifice suivant :
Rien n'empêche, pour la construction de Tabaque, de substituer aux variables ai et 7.2 les variables a'^ et a', définies par
Il suffira seulement, lorsqu'on se sera servi d'une valeur soit de a',, soit de a'j, pour construire une droite, de coter cette droite k l'aide non pas de cette valeur de a'^ où de a'j, mais de la valeur correspondante de ai ou de aj.
Un calcul facile montre que
^4l±f =^-,,'.-^y', avec
|
< |
— : |
^1^1 — |
P\S\ |
|
/ijr, |
niiSi |
||
|
(,■. |
— |
/ii/?i — |
miÇi |
|
/i,r, - |
-mi Si |
||
|
\,. |
— •' |
q^rt- |
'PlSt |
|
n^ri- |
/WjSj |
||
|
q\ |
— |
fiiPi |
-mtSt |
' ^=Pjaj-+-7t avec
Dès lors les équations (a,) et (aj) ci-dessus deviennent
«1 Px^x-^q\
Ces équations représenteront une même droite si Ton peut avoir
a la fois
P'i^'t ^ P'% «î -^ q\ ^ 7î .
p\^\ p\^\-^q\ q\
Or, ces deux égalités se réduisent évidemment à une seule
Il suffira donc que a'^ et a'j satisfassent à cette équation pour que les droites (a'j) et (a'j) coïncident. Autrement dit :
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQI:ES A ENTRECROISEMENT. I03
Si 0L^ et «2 sont liés par la relation
(3)
les droites (a,)et(a2) coïncident.
Ainsi donc les systèmes (ai) et (ao) seront constitués parles mêmes droites (tangentes à une certaine conique) affectées de cotes différentes. Il n'y aura évidemment, pour éviter toute con- tusion, qu'à distinguer les cotes se référant à Tun ou à l'autre sjs- lème au moyen d'un signe quelconque (indice, accent, tiret, ...). V\ arrivera d'ailleurs souvent que la portion utile de chaque sys- tème ne comprendra pas les mômes droites. On aura des lors affaire à deux groupes distincts de tangentes à une même conique el il sera superflu d'affecter leurs cotes de signes particuliers.
49. Transformation ho nio graphique d\in abaque à droites entrecroisées, — Les lignes, droites ou courbes, qui, par leur entrecroisement, constituent un abaque, peuvent évidemment être soumises à une transformation ponctuelle quelconque pounni que leurs cotes se conservent.
En particulier, la transformation homographique la plus géné- rale, avec laquelle toute droite donne une droite, sera applicable à tout abaque à droites entrecroisées, puisque à trois droites con- courantes du premier abaque correspondront trois droites concou- rantes du second.
Pour obtenir l'expression analytique de cette transformation, il suffit de multiplier l'équation mise sous la forme
<E)
par le déterminant
|
A |
?i |
^i |
|
|
A |
t - |
^2 |
— (> |
|
A |
?3 |
^3 |
|
|
X |
Il V 1 |
||
|
) - |
X' |
J.' v' |
|
|
r |
u |
v'i |
cil les lettres X, (jl, v, )/, [jl', ... désignent des nombres quel- conques, mais tels que D soit différent de zéro.
loi CHAPITRE II.
La règle bien connue de la multiplication des déterminants montre que Téquation s'écrira alors
Elle sera par suite représentable par les trois systèmes de droites
(a,) j:-(X/,^K?î — ^4'»)— r(^'/i-^î^'?ï— ^'4'î)^^'/ï— î^'?î— '^'4'« = o^ (di) x{\/i -r- |ji03 — y^i) -^(X'/j— :Ji'oa— v'6,) — X'/j-^ fA'fi— v'4^a = o.
Ainsi les nombres X, [x, . . ., y" étant astreints à la seule condi- tion que leur déterminant D soit différent de zéro, les trois dernières équations écrites définissent l^ abaque à droites entre- croisées le plus général pouvant servir à représenter Inéqua- tion (E) ci-dessus.
On peut d'ailleurs prendre pour fonctions /"i, o, , . . ., tj/j celles qui correspondent à un quelconque des abaques à droites entre- croisées de Téquation proposée. Lors donc qu'on aura réussi à former Tun de ceux-ci, on aura du même coup obtenu tous les autres, pouvant s'en déduire homographiquement, avec conser- vation des mêmes axes de coordonnées.
Exemples : i° La première variante du second type d'abaque de multi- plication {Jig. 2*5) est constituée par les droites
aix — loy ^ o. X — «t — o.
loy — a, -- o,
qui conduisent, pour Téquation de la multiplication, à la forme
ai - lo o
I o — «î
o 10 — a3
— o.
Remplaçons la seconde colonne par la somme des deux premières.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT.
Cela nous donne
lOO
d'où les équations
ai «t — lo o
I I — aj I — o,
o 10 - aj I
X -h y — «j — o, loj' — aj = o.
q,ui déGnissent précisément la seconde variante (./î^. 'ïibis).
Une simple permutation des colonnes du premier déterminant le trans- forme en
I — lo o a, I
o - aj I ", — o,
lo — «3 o I
— lOar -r- OLi r- O, -«Sj-T-I — o,
ioj: — a3j = o,
d'où les équations
qui définissent un abaque du troisième type {Jijfr. ?8 ). t2** Un abaque de l'équation
/i -^/î = /s étant constitué par les systèmes de droites dont les équations sont
•^ -/i = o,
OD voit que Téquation peut se mettre sous la forme
I o — /i
o I --/,
! I I -/,
— o.
Multipliant ce déterminant par
!. -•-
O 1
|
1 o |
•A. V^ o 'A |
'À |
|
1 1 o |
O I |
I06 CHAPITRE II.
nous obtenons, par la règle ci-dessus rappelée,
1 o
I /3
2 À
L /!
•2 2
/.
— O,
qui nous donne les systèmes de droites
— a?-+-7/3 — 2/î — o, 37 -T- ^^ /3 — 2/s = o.
Nous retombons ainsi sur les abaques hexagonaux. Les trois droites dont les équations sont ici écrites, qui font avec Oxrespec-
7: 71
2 7Î
tivement les angles -» - et -^f sont, en effet, à des distances de l'origine égales à/1,/2 et/3.
SO. Quadrilatère limite. — On vient de voir comment, lors- qu'on conserve les mêmes axes de coordonnées, l'application du principe de l'homographie permet d'engendrer tous les abaques à droites entrecroisées d'une équation donnée.
On peut, en particulier, se proposer de faire en sorte, par ce moyen, que le quadrilatère limitant la partie utile d'un tel abaque coïncide avec un rectangle qu'on se sera donné d'avance.
Ce quadrilatère ABCD est formé par les droites correspondant aux valeurs limites at et fe^, a^ et b^ des variables considérées comme indépendantes ai et 7.2 (*).
Pour remplacer ce quadrilatère déjà construit par le rectangle A'B'C'D' il suffit d'effectuer géométriquement la transformation homographique de la figure en faisant respectivement corres- pondre aux points A, B, C, D les points A', B', C, D'. Celte con- struction peut être réalisée ainsi qu'il suit :
( ' ) Il arrive fréquemment, en pratique, que les valeurs utiles a^ et 63 entre lesquelles reste comprise la variable a^ tombent entre les valeurs limites théo- riques définies par les cotes des courbes extrêmes du système passant à Tintérieur du quadrilatère ABCD.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. IO7
Prenons une droite quelconque MN du premier abaque {Jig- 4^) et cherchons à obtenir géométriquement sa transformée M'N' sur le second.
Fi g. /|6.
On sait que la transformation homographique conserve les rap- ports enharmoniques; on a donc, en se servant de la notation entre parenthèses pour désigner de tels rapports,
(AMDJ) = (A'M'D'cc).
Par le point D, menons la parallèle DAo à BC et tirons la droite
BM qui coupe DAo au point Mo. Les points A, M, D et J projetés
du point B sur DA© donnent les points Ao, Mq, D, et le point à
rinfini. On a donc
(AMDJ) = (AoMoD«)
et, par suite,
(A'M'D'oo) = (AoMoDoo),
ou
M'A' MoAo
/ r\/
M'D
MoD
Donc, r échelle des points M' est semblable à V échelle obtenue en projetant de B V échelle des points M sur DAq.
Un résultat analogue pourrait évidemment être établi pour les trois autres côtés du quadrilatère, ce qui conduit à Ténoncé géné- ral que voici :
Pour reporter du premier abaque sur le second V échelle E déterminée par les droites cotées sur Vun des côtés C du qua- drilatère limitCy il suffît de mener par l'un des sommets S qui
Io8 CHAPITRE II.
limitent le côté C, une parallèle P au côté opposé, et de projeter du sommet diamétralement opposé à S ^échelle E sur la droite P. L^ échelle E' à construire sur le côté correspondant du rectangle limite du second abaque est semblable à V échelle ainsi obtenue.
En appliquant ce théorème aux quatre côtés du quadrilatère limite, on reporte toutes les droites qu'il contient à l'intérieur du rectangle limite qu'on veut lui substituer.
Mais, en général, la question ne se posera pas ainsi. Il s'agira (le déterminer a priori^ par voie analytique, les coefficients des systèmes de droites de Tabaque à construire, de façon à réaliser la condition requise. On procédera dès lors de la manière sui- vante :
Soient /|, /w^, n^ et f,, m',, n\ les valeurs prises respectivement par les fonctions y<, çi, <1< pour ai = «i eta<-— 6|. De même pour a2.
Pour faire en sorte que le quadrilatère limite de l'abaque soit formé d'une part par les droites
37 r^ O, X =-- hj
de l'autre par les droites
7 = Ot r = ^"»
il faut disposer des paramètres X, [jl, ..., v", de façon que, pour a, = ai et a, = fei , l'équation (ai ) du n° 49 donne les deux pre- mières, et que, pour 0L2 - - «2 et aj = 6.,» Péquation (aa) donne les deux dernières.
Cela conduit aux équations de condition
(•)
(/^)
ri)
(î)
( X/j -f- [JL/Wj -i-V/lî =^0,
/ X/'j -H [jimi — v/ij =-0,
X'/'i - [^'/'ii -- v'/i'i ~ o,
X*/, -I- [i^nii -- v*/ii == o, X'/j -H ix" nii -+- v^/ij -= o,
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. IO9
De ces huit équations homogènes, il faut tirer des valeurs pro- portionnelles pour les neuf paramètres X, [jl, . . ., v".
Des groupes (i), (2) et (3), on peut tirer respectivement des valeurs telles que
|
X-Hp, |
K -Kp, |
V — L p. |
|
X'^H'p', |
(x'-K'p-, |
v'-L'p', |
|
X'-H'p-, |
K"- K'p', |
v'-L'p', |
p, p', p" étant des paramètres encore indéterminés. Portant ces valeurs dans les équations (4)) on a des équations de la forme
Ap -+- Bp" = o,
d'où Ton tire p et p' en fonction de p". Les neuf paramétres X, jA, .... v" se trouvent alors exprimés en fonction de p" seulement, auquel on peut attribuer une valeur quelconque, d'où résulteront les dimensions de Tabaque.
51. Exemple : Abaque du fruit intérieur des murs de soutènement. - Soient ABCD (Jig. 47) ^^ section rectangulaire d'un mur de soutène-
Fig. 47.
D N
ment calculé en vue d'une certaine n^sistance, MBCN la section trapt'*- zoîdale de même hauteur et de même résistance. Si ToD pose
BM BA
/ ^^ h
et que Ton représente par p le rapport du poids spécifique de la terre
110 CHAPITRE II.
soutenue à celui de la maçonnerie, ces trois quantités sont liées par Téqua- lion
(l -:- /)A*- - /(i '^p)h — '-- ^-^ = o,
qui permet de calculer h lorsque l et p sont donnés. Nous allons faire con- naître l'abaque qui a été proposé par M. Massau (*) pour cette équation.
Remarquons tout d'abord que si nous y regardons l, p et h comme Sj, aj et «3, cette équation rentre dans le type (i) du n° 48.
Elle est donc représentable par trois systèmes de droites dont les équa- tions [(«i), (aj) et (aj) du n" 48], obtenues en posant
/(!->-/>) _ (i — /)(i-f-ajp)
""- ^i i ' -^^ 3(1 ^l)
sont ICI
(7) a(/« — l)Jr-^3/(/-^l)7 — /(/— i) = o,
(h) kx-\-y — A*=o,
Ces trois systèmes sont du second degré. Les deux premiers, d'après le théorème démontré au n** 48, auront pour enveloppe une même conique. Si, en effet, on écrit les équations (/) et (/?) sous la forme
( p') 2/?2 — p(/\x -i- iy — 3) — ('XX -^3y — i) = o.
on obtient pour les enveloppes correspondantes
(3jK -^ i)*-i- Sx(7,x -4- 'iy — i) = o, (4x-f- 37— 3)*-h8(9.a7-f-3>^— i) = o,
formes distinctes d'une même équation, savoir :
( /\x -^ ZyY — 8a: -+- 6r -H I = o,
qui représente une parabole tt.
En outre, l'équation (3) du n" 48 montre qu'une droite (/) et une droite (p) coïncident lorsqu'on a entre leurs cotes la relation
/>(/ -h !) H- I = o.
Mais ici chacune des variables restant, en pratique, comprise entre o et I, on va voir qu'on se trouve dans le cas signalé plus haut où les groupes utiles de tangentes à la parabole tt correspondant respectivement à / et à p sont distincts l'un de l'autre.
( ' ) Loc. cit., n« 298.
Equations a mots variables, abaques a entbkcboisement. i i i n peut construire chacun des systèmes (/), (p)ei(A). l'on se reporte à la forme (/') de J'équation de ce
système, ou voit
c'est-à-dire les droites AB cl AC de la Jîff. ij» (' 1. Ces droites touclicnt la
parabole ir en leurs points de r
/^ -
+-^"l = 0
1 EU.
Pour trouver l'échelle des points de rencontre du système (/) avec AB, nenons, suivant la construction indiquée au n° të, la parallèle OB' à AC, ;t construisons une échelle régulière ayant son point (o) en B' et son point i) en 0, puisque la droite O2' est ici la droite(i). Divisons, par exemple. DB' en 10 parties égales. En projetant les points ainsi obtenus à partir de : sur OB, nous avons les points de rencontre de celte droite rcspecli%e- nent avec les droites (o, i), (0,2) (o, g)du système (/).
t celle d
Mémoire
<') Celte Tigure, aui nolaiions près, reproduit i de M- Massau {Jig. t4i) qui, d'après la déclaration même <tc l'auteur, ne doii être considérée que comme propre à (aire comprendre la construction de l'abaque qui devrait être établi sous de plus grandes dimensions-
I 12 CHAPITRE II.
Pour achever de déterminer les droites (/), on pourrait prendre réchelle qu'elles déterminent sur AC en projetant à partir de B, comme cela a été indiqué au n** 45, une échelle régulière marquée sur Oar, ayant son point (o) en 0 et son point (i) à la rencontre de Ox et de AC.
L'auteur de Tabaquea préféré, pour plus de précision, prendre Téchelle qu'elles déterminent sur la droite EH qui fait partie du système comme on vient de le voir, pour / = — i. Pour obtenir cette échelle, il suffit de mener par le point E une parallèle EF à la droite AC(/ = oo). L'échelle de EH, projetée à partir de G sur EF, donnera une échelle régulière. Or les points (o) ou E et (i) ou H de cette échelle se projettent en E et F. Divisant donc le seggnent EF en lo parties égales et joignant les points ainsi ob- tenus au point G par des droites, on obtient sur EH les points (o, i), (o, 2), . . ., (o, 9) du système (/), qu'il suffit dès lors de joindre aux points de même cote de l'échelle déjà construite sur OB.
Système {p). — La forme (/?') de l'équation do ce système montre, en
vertu de la Remarque qui termine le n° 43, que les échelles déterminées
par les droites du système sur l'une quelconque d'entre elles sont toutes
régulières.
Or
pour /? = o, on a la droite ix -t- Zy — i — o ou AC,
» ^=r I, 0 x-r-y — I — o ou EH,
»/>—--!, 9 a: — oou Oy^
» /; = > M y -- o o\jL Ox.
Donc, après avoir pris les points de rencontre des deux premières avec les deux dernières, on n'aura qu'à diviser les segments obtenus sur celles-ci en lo parties égales et à joindre les points correspondants pour avoir les droites (o, i), (o, a), .... (o, 9) du système (/?).
Système {h), — L'équation (/<) montre immédiatement que la même re- marque s'applique au système correspondant. Ici
pour A = o, on a la droite ^ — o ou Oa?,
» A — I , » ^ -^ y — I — o ou EH,
» // - — I , » X — j -t- I — o ou EG.
Donc, on divisant en 10 parties égales le segment de E(i) à G(o), on obtient des points des droites (o. 1), (0,2), ...,(0,9). Pour achever de déterminer celles-ci, il suffit de remarquer que la droite (A) coupe Ox au point X =^ h.
On voit sur la Jig, ffi que les droites (/*), tracées en traits interrompus, font avec les droites (/?) des angles très petits. Celte disposition est défec- tueuse et l'on pourrait chercher à y remédier par l'emploi de l'homographie, mais on verra plus loin (Chap. III, I) qu'il y a avantage à combiner celle- ci avec un autre genre de transformation. Nous reviendrons donc sur la question en temps voulu (n° 8i).
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ExNTRECROISESlENT. Il3
52. Abaques à cercles entrecroisés, — Puisque, d'après ce qui a élé vu au n" 46, on est libre de choisir, pour définir Fabaquc d'une équation (E) donnée, deux sur trois des équations (ai ), (a2) et (23)1 on pourra, dans certains cas où l'équation (E) ne rentrera pas dans le type des équations représentables par trois systèmes de droites (n" 47), avoir recours à des cercles cotés.
Cherchons Téquation la plus générale représeu table par trois systèmes de cercles cotés. Il faut, pour cela, éliminer x eiy entre les équations de trois tels systèmes, supposés rapportés à des axes rectangulaires, équations qui peuvent s'écrire
(ai)
(«3)
rt, ( ;r« -^ ^ï ; -^ a:/, -h ^ <ï>, -T- <j/i =-= o,
01,02, ^3 étant des constantes qu'on pourrait, dans le cas général, prendre égales à 1, mais qu'il vaut mieux conserver quelconques pour être libre, en les annulant, de réduire le système de cercles correspondant à un système de droites.
Si l'on élimine x^-^y- entre ces trois équations prises deux à deux, on obtient
/t
i/3
! /a
«j
ai I «3 I
X
X -~
1/1 «il
X -r-
|
«1 «J |
y |
«1 «2 |
||
|
?1 |
y — «3 ! |
1 at a. |
||
|
' ?3 1 ?1 |
«3 a, |
y |
ai "1 |
• = o.
= o,
= o.
Si l'on additionne ces équations après les avoir multipliées res- pectivement une première fois par '^i, cp2, 'fa, et une seconde par fi^fttfiïi on obtient les deux suivantes :
|
/l ?l «1 |
1 1 |
«I ?l |
|
/t <?î «t |
1 X — «î Çpj |
|
|
A ?3 «3 |
1 «3 <?3 |
|
|
f\ ?1 «I |
/l «1 |
|
|
ft ?t «t |
X — |
fi «î |
|
f% ?3 «3 |
/s «3 |
î'i
<^3 1
^t
= O,
= O.
M. D'O.
8
I l4 CHAPITRE II.
Si, après avoir posé
D= /î ?2 4^8 • /s ?s ^'ï
nous convenons de représenter par Dy, D^, D^ ce que devient ce déterminant lorsqu'on y remplace les //, les ©/ ou les ^j^ipar lésais nous voyons que les équations précédentes peuvent s'écrire
D^x — Df = o,
D+r
Dç= o.
Portant les valeurs tirées de là dans l'équation (ai), nous avons
a, ( D) -h Dj) -f- D,^,(/, D/ 4- oi Dç -4- tj^i D^) r= o.
O
r
/iD/=/i
?iDç= ?i
i);, D^- ^i
|
a, (fi <^i |
a\f\ |
?î |
'i'I |
|
|
«2 <?î 'J'î |
o |
«Pi |
4^2 |
|
|
ûfS ?8 'i'S |
o |
?3 |
^^ |
|
|
/l «1 <^1 |
/. |
«I?l |
^x |
|
|
/î «J 4^8 |
— |
h |
O |
^t |
|
/a «3 4^3 |
/a |
O |
^^ |
|
|
/l ?l ûi |
/i |
?1 |
«1^1 |
|
|
/l ?î «î |
= A |
?i |
o |
|
|
A ?3 <Ï3 |
/3 |
?s |
o |
o cp,
o Cp3
/s o
/l ?1
h
d'où, en additionnant en colonne,
/, D/ H- fiDç-^ ij^, D^ =
«i/i «i?i «i'Vi
/l ?î 4^2
/s ?3 = ax D.
'l'3
-t. '1'.
"V. ■
'1'.
o
/i ?i 4^1 i«i/i «î?i «î'Vi , U ?3 'i's
L'équation ci-dessus devient donc
o (pi
o (pt
/. «
/» «»<P1
/3
4-.
O O
T» ^34*1
/i ?i 4*1
/î T« 'l't
«3/1 «8^1 «î4'l
ou
|
«1 ?1 ^1 |
/l «1 4^1 |
/i ?i «I |
/l ?l ^\ |
|||
|
«s ?J ^2 |
- 1 - |
/a «2 'l'i |
_i_ |
/• ?2 «2 |
X |
f\ «p2 '{'2 |
|
«3 ?3 ^^ |
/a <'3 'j's |
/s ?3 «3 |
/s ?3 4^3 |
= o.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEIENT. Il5
Telle esl, sous forme symétrique, l'équation la plus générale représentable par trois systèmes de cercles entrecroisés.
Si l'un dés systèmes de cercles se réduit à un système de droites, il sufKt d'égaler à zéro la constante a correspondante, d'où l'uti- lité de l'introduction de ces constantes.
Dans le cas, notamment, où deux des systèmes de cercles, les deux premiers par exemple, deviennent des systèmes de droites ( ' ), on a, en faisant a^ = «2= o, l'équation
1 A ?i ^1
A ?3 ^^3
et si le troisième système devient à son tour rectiligne, auquel cas «3= o,
A ?i 't'i
A ?î h ^ "'
A ?3 '^i
ainsi qu'on l'a déjà vu au n° 47.
53. Exemple : Abaque des murs de soutènement pour des terres profilées suivant leur talus naturel. — On peut faire des hypothèses particulières sur les systèmes de droites et de cercles constituant Tabaque considéré, par exemple, dans le cas de deu\ systèmes de droites et d'un système de cercles, supposer que les cercles sont tangents entre eux en un même point. Prenant ce point comme otigine et la normale commune comme axe des ar, on voit que celte hypothèse entraîne 03=<}/3=o et l'avant-dernière équation du numéro prcccdenl, où l'on peut d'ailleurs faire a) = i, devient
On peut aussi supposer que toutes les droites du système (ori) passent par rorigine, ce qui revient à faire çi = — i, <Vi = o,/| représentant alors le coefficient angulaire de la droite (ai). L'équation précédente devient alors
<^«('-+-/î)— /3(/I?î-+-/t) = o• Comme exemple d'application nous prendrons l'équation
A«H- A/>sincpcoscp — ^cos*cp = o,